(a,b)=(a,ka+b)的应用

易证初等数论中的如下定理:若a,b任Z,则对于任意k任Z有(a,b)=(a,ka+b)。显然,当k二1时,(a,占)=(a,a+今);当k=一1时,(a,b)=(a,a一右).例1.求使分式可以约分的所有l的整数值.(第19届莫斯科数学竞赛) 解只要求出满足(51+6,81十7)>1的所有l的整数值即可.因为 (51+6,81+7)=(51+6,31+1) =(31+1,(一2)(31+1)+51+6) =(31+1,l一4) =(31+].+(一3)(l一4),l一4) =(13,l一4))1由13}l一4,得l=13m+4(m任Z). 例2.证明:任意两个相邻为Fibonacoi数F。,Fn*:(,夕2)是互素的. 证明’:F,=F:=]., F。+z二F。+Fn一x, (F。+1,Fn)=(F。,F。+1一Fn) 二(F。,F。…