Cauchy不等式的一个较简证明

设a_1,a_2,…,a_n是不全相等的正数,则成立着著名的Cauchy不等式 1/n sum from k=1 to n a_k>(multiply from k=1 to n a_k)~(1/2) (0) 不等式(0)有很多证明,本短文借助于不等式 (a-b)/ab>0,给Cauchy不等式一个较简的证明,不等式(1)的证明是简单的,实际上,根据拉格朗日中值定理lna-lnb=1/c(a-b),其中a>c>b>0。由此推得不等式(1)。当a=b时,(1)成为等式。以下我们来证明不等式(0) 令σ=1/n sum from k=1 to n a_k。显然,不失普遍性,可以假定