爱可尔斯定理的证明、推广与应用

一九八三年芜湖市中学生数学竞赛中有这么一道题: 如图,△ABC、△A′B′C′为同一平面内的两个正三角形,P、Q、R分别是AA′、BB′和CC′的中点,试证明△PQR也是正三角形。这道题就是所谓的爱可尔斯定理。它是美国人爱可尔斯(Echols)在一九三二年发现的。它的证法很多,下面给出两种证法。