指数函数e^x的两个应用

1　在级数审敛中的应用利用指数函数 ex的幂级数展开式 ,即 ex=1+ x+ x22 !+… + xnn!+… ,| x| <+∞ (参见 1 ] )可以判断某些通项为 n的指数函数的级数的敛散性。例 1　判别级数Σ∞n=1 e-n 的敛散性。解　根据指数函数的幂级数展开式 ,有e n =1+ n + (n ) 22 !+ n323 !+ n24!+…于是 e n >n22 4　　　 (n=1,2 ,…… )故 e-n <2 4n2 　　　 (=1,2 ,…… )从而据正项级数比较判别法知 ,Σ∞n=1 e-n收敛例 2　判别级数 Σ∞n=1 (n1n2 + 1 -1)的敛散性。解 :因为an =n 1n2 + 1 -1=elnnn2 + 1 -1由于　　　　 limn→∞anlnnn2 + 1=limn→∞el…