二次齐次式的应用

如果一个题目中含有关于x,y的二次齐次式:ax2+bxy+cy2(a,b,c是常数),那么有时可通过变换得到关于y/x的式子,使解题过程得以简化.尤其是对于一些用比值表示的量,如商数关系tansincosα=αα、离心率e=ac、斜率k=(y2?y1)/(x2?x1)等,二次齐次形式常常有用武之地.下面举例说明.例1设y=log1/2[a2x+2(ab)x?b2x+1](a,b∈R+),求使y为负值的x的取值范围.分析∵0<1/2<1,y<0,由对数函数性质,得a2x+2(ab)x?b2x+1>1,即a2x+2(ab)x?b2x>0.①注意到上式的左边是关于a x和b x的二次齐次式,两边同除以b2x(>0)得(a)2x2(a)x10b+b?>.这是一个关于(a)xb的二次不等…