初中数学联赛中一道几何题的浅析

一、从一道习题谈起如图1,BC为⊙O的直径,DC为弦,OA⊥BC交BD于H,交CD的延长线于A,求证:OB~2=AO·HO。(参见《初中主要学科基础》(数学),浙江教育出版社P_(265),习题48题) 欲证BO~2=AO·HO,只需证明△BOH∽△AOC就是了,证明是容易的,若对习题稍加变化,改为如下命题: 如图2,设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下,让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积S_(△ABC)·S_(△HBC)的值变小、变大,还是不变?证明你的结论。这是一九九三年全国初中数学联赛试题第二试中的一道几何题,由习题到赛题,我们可以看到如下的几点变化。 1.把习题中的圆这一条件去掉了,连结AB,变成了等腰三角形,把直径BC(定值)改述为底边BC保持不变,OA⊥BC,BD⊥AC改述为H为等腰△ABC垂心,习题中的求证结论改为探求S_(△ABC)·S_(△HDC)。 2.题型也由单纯的证明题改成了“猜证”题,先猜想,后证明,增加了证明的难度,提高了对创造型思维能力的要求。 3,在题目的叙述上,由静到动,把静止点看作动点的特殊位置,增加了灵活性。