对一类抽象函数问题的再思考

我们知道“若函数f(x)对任意的x、y∈R满足f(x+y)=f(x)+f(y)”,则我们容易联想到正比例函数f(x)=kx是满足条件的一个具体模型,又比如“若函数f(x)对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)f(y)”,则我们容易想到指数函数是满足条件的一个具体模型.笔者经常在想分别满足这两个条件的函数是否就是正比例函数和指数函数呢如果真是这样那么抽象的问题就变成了具体的函数了岂不更好!那么怎样根据条件求出函数f(x)的解析式呢怎样揭开抽象函数神秘的面纱露出庐山真面目呢这类问题一直在困惑着笔者,用赋值法特殊情况下能求出函数解析式,或求出自变量为正整数时的函数解析式,但不少问题赋值却显得无能为力.最近笔者有幸拜读了《中学数学教学参考》第7期李峰老师的文章“一个问题的求解历程”,他大胆运用导数方法解决了他所遇到的几个抽象函数的解析式问题,这给笔者很大的启发和鼓舞.但笔者读后觉得言虽尽意未了,还有作进一步探讨的必要.笔者用此法对简单多项式函数、指数函数和对数函数的抽象表现形式进行了一般性的研究得出了一些自己诊断有一定价值的结论,使得我们对抽象函数的解析式问题有了进一步的认识.下面将笔者的研究成果及其应用向大家作...