正八面体外接与内切球的几个不变量

设正八面体 A1 - A2 A3A4A5- A6棱长为 a,Mi( i=1 ,… ,1 2 )为各棱中点 ,Nj( j=1 ,… ,8)为各面中心 ,O为其内切球和外接球中心 ,r与 R分别为其半径 ,则有定理 1　设 P为正八面体外接球上任一点 ,则( 1 ) ∑6i=1 PA2i=1 2 R2 ;( 2 ) ∑1 2i=1 PM2i=1 8R2 ;( 3) ∑8i=1 PN2i=323R2 .证明　由 O是外接球心 ,知 ∑6i=1 OAi=0 ,OP=OAi=R,∴∑6i=1 PA2i=∑6i=1 PAi2 =∑6i=1 ( OAi- OP) 2=∑6i=1 ( OAi2 + OP2 ) - 2 OP∑6i=1 OAi=∑6i=1 ( R2 + R2 ) =1 2 R2 .类似可证 ( 2 ) ,( 3) .应用相应结果 ,可证定理 2　设 P′为正…