平面定性理论中的中心焦点判别

一 中心焦点判别的意义在微分方程平面系统的定性理论和分支理论中,中心焦点判别问题是一个极为重要的研究课题.正如文4]中指出:Arnold问题的彻底解决依赖于中心焦点判别,同样,由于焦点量的阶数决定了通过微小扰动在奇点邻域内产生极限环的个数,而全面极限环的个数首先取决于各奇点邻域内极限环的个数,因而Hillbert第16问题的第一关就是焦点量阶数的确定,即中心焦点判别.正因为如此,自本世纪初Dulac对这类问题开始研究以来,数学家们就一直进行着不懈地努力,并且对于某些特殊系统(如平面二次系统、缺二次项的三次系统等)取得了一些进展,但是要彻底解决此类问题,仍需在理论上作进一步深刻的探讨,需要一个相当长的时期.本文通过介绍中心焦点判别的若干进展的同时,对此类研究的两个关键问题;