一类“存在性”数学中考试题的解题思路

近几年各地的中考数学试题,出现了一种热点题型,即“存在性”试题。它是一种在给定条件下,判断某个结论是否存在(成立)的命题,常以“若存在,试求之;若不存在,请说明理由”的方式叙述。这类试题形式新颖,构思巧妙,并且经常作为压轴题,考生常觉不易求解。其实这类试题早在1981年高考理工类试题中就出现过,它是判断过一定点的直线能否与已知双曲线有两个交点,且这个定点又是这两个交点的中点。另外它的叙述方式在现行九年义务教育数学教材上也能找出,代数第二册116页例2就是一例,它是这样叙述的,“下列各数有平方根吗?如果有,求出它的平方根;如果没有要说明理由。”这类试题的解法一般是假定结论存在,在此基础上从题设出发进行计算或推理,若推出矛盾,则假定错误,即“不存在”,否则是肯定的,即“存在”。现就1997、1998年部分省市考题中的有关问题解答如下(以下各题求解只解与存在性有关的问题,其余各问只写出答案)。