一个不等式的加强及其应用 |
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引用本文: | 田寅生.一个不等式的加强及其应用[J].数学教学通讯,1991(4). |
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作者姓名: | 田寅生 |
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作者单位: | 江苏阜宁师范学校 |
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摘 要: | 高中《代数》第二册112页11题是:证明1+1/(2~(1/2))+1/(3~(1/2))+…+1/(n~(1/2))>n~(1/2),(n>1).文1]给出了比上式更强的结论:2((n+1)~(1/2)-1)1)。(Ⅰ) 本文对(Ⅰ)式进行加强,从而把(Ⅰ)式的结论统一到本文结论之中。且给出估计和式sum from k=1 to n 1/(K~(1/2))值(绝对误差不超过0.16)的一种方法。由1°,2°知(Ⅱ)式成立。 (Ⅱ)式亦可用数学归纳法证明。容易证明 ((n+1)~(1/2))+n~(1/2)-2~(1/2)<2(n~(1/2))-1,((n+2)~(1/2))+n~(1/2)-3~(1/2)>2((n+1)~(1/2)-1).所以,(Ⅰ)式可看成是(Ⅱ)式的直接推论。因为 0<((n+1)~(1/2))+n~(1/2)-2~(1/2)) -(((n+2)~(1/2))+n~(1/2)-3~(1/2)) =((n+1)~(1/2)-(n+2)~(1/2)+(3~(1/2)-2~(1/2)) <3~(1/2)-2~(1/2)<0.32。所以用 ((n+1)~(1/2)+n~(1/2)-2~(1/2))+((n+2)~(1/2)+n~(1/2)
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