复合函数外函数求解问题质疑

一、问题的提出 中师五年制现用大学专科小学教育专业教材《数学分析》中有这样的一个关于复合函数的习题:已知:f(x (1/x))=x~2 (1/x~2),求:f(x)。习题的答案是:f(x)=x~2-2。 这里,就本题及所给答案,提出问题如下:问题一,答案中f(x)=x~2-2这个函数是定义在哪儿的?当我们用变量代换方法或其它方法解题时,从解题过程来分析,可以得到的答案应为:f(x)=x~2-2,|x|≥2;问题之二,与函数x (1/x)复合可以得到结果x~2 (1/x~2)的外函数是否唯一?若设f(x)=x~2-2,|x|≥1,则有f(x (1/x))=x~2 (1/x~2),其实,对函数f(x)=x~2-2 |x≥2,g(x) |x|<2(其中g(x)是任意函数)而言,显然都有f(x (1/x))=x~2 (1/x~2),可见,满足条件的函数f(x)不唯一。综上可知,习题的答案并不确切。下面,我们对此进行较深入的剖析。