第26届独联体数学奥林匹克解答

9.1.两次应用不等式x~2 y~2≥2xy,得 (a~2 b~4) c~2≥2a~2b~2 c~2 =(2~(1/2) ab)~2 c~2≥2(2~(1/2))abc。 9.2.略。 9.3.首先把k个都市的每一个都划归不同的共和国,再用以下方式逐步扩大各个共和国:确定那些不属于任何共和国,但用一条公路与某共和国的某城市相连接的那些城市;把每一个这样的城市以及由此城通往该共和国的公路都划归该共和国。因为从任何城市都可到达其它任何城市,则经有限步划归后所有城市都分属各共和国。如果某个城市在第n步划归到某个共和国,则由此城市到任何首都之间的道路至少由n条公路组成,同时由n条公路组成的每一条道路都包含在此城市所属的那个共和国内。因此,上述做法满足此题要求。