二项式系数中奇数的个数

二项式系数C_n~0,C_n~1,C_n~2,…,C_n~n中奇数的个数是一个十分有趣的问题。它等价于求出二项展开式(1 x)~n中奇数项的问题。对n=0,1,2,3,4,…时的特殊情况,计算后可以得出这样一个结论:二项式系数中奇数的个数是2的一个方幂。自然要问它是2的几次方?或者对具体的n怎样来求出这个数?本文将证明: 定理 (1 x)~n中奇系数项的个数是2~k其中k是把n写成二进制的非零数字的个数。我们首先证明几个引理,然后利用它们来证明定理。引理1 在n=2~m-1时,C_n~(?)全是奇数。