前n个自然数平方和公式的一个几何证法

在自然数列中,前几个数的平方和公式是大家都熟悉的,同时也有不少证明该公式成立的方法。现在我们还可以用下面这种几何方法加以证明。 取两个互相垂直的直线OA和OB,并且选取任意的线段为单位长。在横轴OA上,从点O开始相继截出长度为1,2,3,4,……n的线段。再在纵轴OB上,先截出一个长度等于1的线段,然后再截出n-1个线段,使每一个线段的长度都等于(2/3)。(如下图) 我们再过OA轴上和OB轴上的每一个分割点,分别引平行于OB与OA轴的直线,这样就得到n个交点。因此,我们就得到一个边长为1的正方形和n-1个大小不同的六边形。 我们可以证明,这一个正方形的面积与n-1个六边形的面积之和正好等于前n个自然数的平方和。 [证明]:在n-1个六边形中,我们任取其中一个六边形MNTPQR,并令这个六边形MNTPQR的边MN之长为K,并作RS'//OB交PT于S点。(如下图)。