公式z=│z│~2的应用

例1已知复数z的辐角为60°,且｜z-1｜是｜z｜和｜z-2｜的等比中项,求｜z｜.解设z=r(cos60°+isin60°)=r2+3姨2ri,则z的实部为r2.∴z+z=r,zz=r2.由题设知,｜z-1｜2=｜z｜·｜z-2｜.由公式zz=｜z｜2得(z-1)(z-1)=｜z｜·｜z-2｜2姨.∴(z-1)(z-1)=｜z｜穴z-2雪(z-2)姨,∴zz-(z+z)+1=｜z｜zz-2(z+z)+4姨,∴r2-r+1=r·r2-2r+4姨.化简整理得r2+2r-1=0.解得r=2姨-1,r=-2姨-1(舍去).∴｜z｜=r=2姨-1.例2求证:｜z1+z2｜2+｜z1-z2｜2=2(｜z1｜2+｜z2｜2).证明由公式zz=｜z｜2得｜z1+z2｜2=(z1+z2)(z1+z2)=(z1+z2)(z1+z2)=z1z1+z1z2+z2z1+z2z2=｜z1｜2…