谈一道IMO预选题

第31届国际数学奥林匹克(IMO)竞赛中有这样一道预选题(南斯拉夫提供): 设I是△ABC的内切圆圆心,A_1,B_1,C_1分别是AI,BI,CI与△ABC的外接圆的交点,求证: IA_1 IB_1 IC_1≥IA IB IC。(1) 胡大同、陶晓永编《第31届国际数学竞赛预选题》一书(北京大学出版社,1991年7月)给出了这道试题的一个解答。本文将首先给出这一问题的一个简便证法,然后再作进一步讨论。