例谈内切圆代换下的不等式证明

△ABC的内切圆、外接圆半径分别为r,R,大家知道有著名的Euler公式:R≥2r. 上述公式证明方法有多种,本文将给出△ABC中内切圆代换下的证明. 为此,我们先给出有关内切圆的一些基本知识点,这些在不等式证明中时是极其有用的. 如图1,设a=x+y,b=y+z,c =z + x,△ABC的内切圆、外接圆半径分别为r,R,面积为S,半周长p=a+b+c/2=x+y+z,由海伦公式知S=√p(p-a)(p-b)(p-c) =√xyz(x+y+z),注意到S=pr=a+b+c/2 r,故r=S/P=√xyz/x+y+z,而S=1/2absinC=abc/4R,故R=abc/4S=(x+y)(y+z)(z+x)/4√xyz(x+y+z),故=R/2r=(x+y)(y+z)(z+x)/8xyz≥8xyz/8xyz=1,故R≥2r.