北京市中学1962年数学竞赛第二試試題解法

高二第二試题目解法 1.証明:不論n是什么整数,方程 x~2-16nx 7~5=0 (1)没有整数解。这题目里面的7~5可以改成7~8,其中s是任何正的奇数。解题时,最好利用根与系数的关系,并用反证法。现在把解写在下面: 解:设两根为x_1,x_2,则有 x_1 x_2=16n (2) x_1x_2=7~8 (3)现在假定(1)有一根是整数,则由(2),另一根也是整数。因7是素数,故由(3)知,x_1x_2可以写成下面的形式: x_1=±7~k,x_2=±7~h (4)上面两式同时取 号或-号,而 k h=s. (5)把(4)代入(2)得 7~k 7~h=±16n (6)因k h=s为奇数,不妨设k>h,则