圆锥曲线中的“蝴蝶定理“

在平面几何中,设O是圆中定弦AB的中点,过O作两条任意弦CD和GH,若CH和GD分别交AB于P和Q,则OP=OQ(如图)。这就是著名的“蝴蝶定理”。笔者认为上述结论,可以推广到圆锥曲线中,为此,先证明以下引理:引理:以圆锥曲线的一条对称轴为y轴,轴上的点O为原点建立直角坐标系,若过点O的直线l1:y=k1x交圆锥曲线于两点C(x1,y1)、D(x2,y2),直线l2:y=k2x交圆锥曲线于两点G(x3,y3)、H(x4,y4),则有k1x1x2(x3+x4)=k2x3x4(x1+x2)………………………(!)证明:由圆锥曲线的对称轴为y轴,可设圆锥曲线的一般方程为ax2+cy2+dy+f=05(a≠0)……………(1)将直…