不等式(x y)/2≥xy~(1/2)的推广

命题:a,b,u,v>0,a b=1,s,t是实数,则不等式au~s bv~i≥u~(as)·v~(bt)成立。略证:u~s,v~t>0,由对称性不妨设,x=(?)≥1,在[1,x]上对函数f(x)=x~a应用中值定理得不等式x~a-1≤(x-1)a(当u~s=v~t时取等号),将x=u~s/v~t代入不等式,整理并注意1-a=b即得证。推论:a,b,u,v>0,a b=1,贝au bu≥u~av~b易见不等式(x y)/2≥xy~(1/2)是该推论的特款。