从一道数学练习题的变换谈能力的培养

<正> 中国人民大学教学教研室编《经济应用数学基础》(一)——微积分》习题一(A)第35题为: 如果 f(x)=log_ax 证明 f(x)+f(y)=f(x·y)(Ⅰ) f(x)-f(y)=f(x/y )(Ⅱ) 此题根据函数的对应关系和对数的性质证明很简单。 证明:f(x)十f(y)=log_ax+log_ay=log_a(x·y)=f(x·y) f(x)-f(y)=log_ax-log_ay=log_a(x/y)=f(x/y) 问题虽然证毕,但它却启发我们产生许多猜想。 1.若去掉原题中f(x)=log_ax的条件,将结论(Ⅰ)作为条件能否证得结论 (Ⅱ). 即:若y=f(x),且f(x)+f(y)=f(x·y) 求证:f(x)-f(y)=f(x/y) 2.结论(Ⅰ)(Ⅱ)是对数函数所具有的特性,那么具备这些特性的函数一定是对数函数吗? 3.若具备结论(Ⅰ)(Ⅱ)的函数是对数函数,能否以此来证明对数函数的有关性质? 下面对上述三条猜想给以证明,看其是否成立。