浅谈定积分在不等式证明中的应用

高中数学试验教科书第三册引入了《积分》,从定积分的概念及它在几何上的应用可以知道 ,在区间上的定积分就是所求的曲边梯形的面积的极限值 .由此 ,我们可以引入以下不等式 .定理 :设函数 y =f ( x)在 ( 0 ,+∞ )上为单调递减 ,且 f ( x) >0 ,则有∑nk=2f ( k) <∫n1 f ( x) dx ( 1)∑nk=1f ( k) >∫n+ 11 f ( x) dx ( 2 )证明 :因为 f ( x)在 ( 0 ,+∞ )上单减 ,所以 f ( 1) >f ( 2 ) >…… >f ( n -1) >f ( n) >0由图 1,得∑nk=2f ( k) =f ( 2 ) . 1+f ( 3 ) . 1+… +f ( n) . 1=S2 +S3 +… +Sn <∫n1 f ( x) dx　　所以 ( 1)式成立 .…