利用等价变换法解题数例

解数学题时,若思路受到阻碍或无计可施,常考虑把一个命题化成与之等价的另一命题,往往可收到化难为易,化繁为简之功效,下举数例,以示说明。例1 求证:没有整数a、b、c,满足a~2+b~2-8c=6。分析:这个命题已知条件很少,不便于利用。若将其结论式等价变形成:a~2+b~2=8c+6,则问题转化为:证明没有两个整数的平方和被8除余6,至此,可由整数性质获得巧妙证明。∵任一整数都可表示成下列形式之一:4n.4n+1,4n+2,4n+3,它们的平方分别为:16n~2,16n~2+8n+1,16n~2+16n+4,16n~2+24n+9,它们被8除的余数是:0,1,4,而0、1、4中的任意两个(包括重复)之和都不等于6,故任意两个整数的平方和被8