波兰第43届(1991—1992)数学奥林匹克最后一轮试题

1.线段AC与BD相交于点尸,使尸A一PD,尸B二PC,设O是△尸AB的外心,求证:OP土CD。3mZk一3mn3k,~OB一A 3n‘kZ⑤所以O=lim 二4.J~f(竺)一竺nn 证用同一法,如图,过尸引△PCD的高尸H,再分别作尸A、尸B的垂线交直线尸H于E、F,则E、F在P的同侧,由所设,有即f(m/n)=m/n。 综上,本题只有唯一解了(x)=x(x为正有理数)。 注如不用极限,可在⑤中令k一1,解关于f‘景,的二次方程,亦可得f‘希,一景. 3.证明:对任何实数a:,a:,…,ar,有PEa门a.))O, PDPH/PCm+n 尸Beos乙FPB PA尸D 而石2灭万万一石石砚交万万二 尸C尸C=户万7矛万二丽泛石万…