一道高考压轴题的启示

纵观近几年的高考数学试题 ,一些比较困难的问题 ,常有一定的高等数学背景 .2 0 0 2年高考数学 (理 )压轴题正是如此 .这个题目是 :设数列 {an}满足 an+ 1=a2n - nan+1,n =1,2 ,3,…( )当 a1=2时 ,求 a2 ,a3,a4,并由此猜出 an的一个通项公式 ;( )当 a1≥ 3时 ,证明对所有的 n≥ 1,有( i) an ≥ n +2 ;( ii) 11+a1+11+a2+… +11+an≤ 12 .解析 :这是以数列和不等式的基础知识为载体 ,考查猜想、归纳、迭代、递推、放缩、推理以及分析问题和解决问题能力的一道好题 .这道题的入口较宽 ,( )及( ) ( i)不难解决 ,( ) ( ii)难倒了不少考生 ,…