“a·b=c·d±e·f”型命题的三角证法

在平面几何中,求证线段等式a·b=c·d±e·f一类命题,是比较繁难的问题之一。本刊84年第1期发表的《“a·b=c·d±e·f”型命题的一种证明方法》。介绍了这类命题的几何证法,本文谈谈这类命题的三角证法。这类几何命题,可用正弦定理证明,也可用余弦定理证明。设a、b、c、d、e、f都是已知图形中的线段,用正弦定理证明a·b=c·d±e·f,其方法是: 第一步,利用正弦定理,考察已知图形中有关的边和角之间的关系,写出c·c±e·f/a·b的三角表达式; 第二步,根据已知条件,将这个三角表达式化简,证明它的值等于1。例1 在△ABC中(图1),已知∠A=2∠B, 求证BC~2=AC~2 AB·AC。证明设∠B=θ,则∠A=2θ,∠C=180°-3θ。在△ABC中,由正弦定理得