2007年IMO中国国家集训队选拔考试

第一天一、已知AB是⊙O的弦,M是弧AB的中点,C是⊙O外任一点,过点C作⊙O的切线CS、CT,联结MS、MT分别交AB于点E、F.过点E、F作AB的垂线,分别交OS、OT于点X、Y.再过点C任作⊙O的割线,交⊙O于点P、Q,联结MP交AB于点R,设Z是△PQR的外心.求证:X、Y、Z三点共线.(熊斌供题)二、称满足如下条件的有理数x为“好的”:x=qp>1,其中,p、q是互质的正整数,且存在常数α、N,使得对任意正整数n≥N,都有|{xn}-α|≤2(p1+q),其中,{a}表示a的小数部分.求出所有好的有理数.(李伟固供题)三、在半径为10的圆周C上任给63个点,设以这些点为顶点…

The Selective Examination for the National Team of China for IMO 2007