关于递归数列x_(n+1)=ax_n+bx_(n-1)的周期

定理设{x.}为由递推关系x一,~a入十bx.,和初始条件T一a:,xZ~b.确定的非常数数列,a,口为特征方程了一ax+b的两根.那么, (l)a半月,且存在自然数T口,T,使口“~1,严声一l时,仕.1是周期数列,周期T二(’I’。,T,). (2)a共月,但对任何自然数n,,l,a”护1或尸护1,则仕.}不是周期数列. (3)当a~夕时,仕.}不是周期数列. 证明口尹口时,二,一Ar’十B户’,T-(T。.T,).易知八一T一x.(,:任N),(l)成立. (2)可用反证法证明. 口二月时,x一(C,:+D)r’.如(x.}有周期7’,可得ZC,十CD=C,+CD .C~0.x一D·矿’,{x.}为周期数列,只有D~0或a~1或0才行,这时{、r…