纸上得来终觉浅 绝知此事要躬行——试论解题之后的再回顾

著名数学教育家波利亚把解题过程划分为审题、拟订解题计划、实现解题计划和回顾四个阶段.他说:“即使相当好的学生,当他得到问题的解答并且干净利落地写下论证后就合上书本找点别的事情来干,那他就错过了解题的一个重要而有教益的方面:通过回顾所完成的解答,通过重新考虑和重新检查这一结果得出这个结果的路子,学生可以巩固他们的知识和发展他们的能力1].这就启示我们在完成一道题后还应考虑这样的问题:你能检验这一结果或这一论证吗?你能用不同方法导出这一结论吗?有没有更为简单和直观的方法,你能把这一结果或方法用于其他的问题吗?笔者想从以下几个方面略谈拙见,以期引玉.1回顾结论,能发现并纠正明显的错误例1α、β是关于x的方程4x2+4mx+m+2=0的两个根,求α2+β2的最小值及m的值.解α+β=-m,αβ=m4+2,∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=m-412-1167,当m=41时,α2+β2取最小值-1167.思考α2+β2能为负值吗?m=14时原方程有解吗?纠正由Δ=16(m2-m-2)≥0,得m≤-1或m≥2,故当m=-1时,α2+β2的最小值是21.2回顾结论,能发现并纠正隐含的错误例2求过P(2,3)且与圆(x-...