用sum from k=0 to ∞ (a_1q~k)=a_1/(1-q)(|q|<1)解一类竞赛题用 |
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引用本文: | 高召,王启民,陈伟锋.用sum from k=0 to ∞ (a_1q~k)=a_1/(1-q)(|q|<1)解一类竞赛题用[J].中等数学,2006(12). |
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作者姓名: | 高召 王启民 陈伟锋 |
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作者单位: | 河南省三门峡市第一高级中学 472000 |
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摘 要: | 我们知道,无穷递缩等比数列{a_1q~(n-1)}的各项和公式为∑∞k=0a1qk=1a-1q(|q|<1).对于一类各项是分式形式的竞赛题,若各项都能变换成1-a1q(|q|<1)的形式,就可以逆用该公式,再结合幂平均值不等式1n∑ni=1ai≤m1n∑ni=1aim或平均值不等式巧妙地解题.下面举例说明.例1设任意实数x、y满足|x|<1,|y|<1.求证:11-x2+1-1y2≥1-2xy.(第19届莫斯科数学奥林匹克)分析:由x2<1,y2<1,知1-1x2和1-1y2能展成无穷递缩等比数列各项和的形式.证明:因|x|<1,|y|<1,所以,x2<1,y2<1.于是,有11-x2=1+x2+x4+…,11-y2=1+y2+y4+….从而,1-1x2+1-1y2=(1+x2+x4+…)+(1+y2…
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