An Epistemological and Didactic Study of a Specific Calculus Reasoning Rule |
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Authors: | Email author" target="_blank">Viviane?Durand-GuerrierEmail author Gilbert?Arsac |
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Institution: | 1.Institut Universitaire de Formation des Ma?tres,Lyon;2.LIRDHIST, Laboratoire Interdisciplinaire de Recherche en Didactique et en Histoire des Sciences et des Techniques,Université Claude Bernard Lyon1,Lyon;3.Institut Girard Desargues,Université Claude Bernard Lyon1,Lyon |
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Abstract: | Abstract It is widely attested that university students face considerable difficulties with reasoning in analysis, especially when
dealing with statements involving two different quantifiers. We focus in this paper on a specific mistake which appears in
proofs where one applies twice or more a statement of the kind “for all X, there exists Y such that R(X, Y)”, and forgets that in that case, a priori, “Y depends on X”. We analyse this mistake from both a logical and mathematical point of view, and study it through two inquiries, an historical
one and a didactic one. We show that mathematics teachers emphasise the importance of the dependence rule in order to avoid
this kind of mistake, while natural deduction in predicate calculus provides a logical framework to analyse and control the
use of quantifiers. We show that the relevance of this dependence rule depends heavily on the context: nearly without interest
in geometry, but fundamental in analysis or linear algebra. As a consequence, mathematical knowledge is a key to correct reasoning,
so that there is a large distance between beginners' and experts' abilities regarding control of validity, that, to be shortened,
probably requires more than a syntactic rule or informal advice.
Résumé Les difficultés de manipulation, par les étudiants, des énoncés contenant deux quantificateurs différents, rencontrés dans
de nombreux raisonnements en analyse, sont bien attestées. Nous nous intéressons plus spécialement dans cet article à une
erreur qui appara?t dans certaines preuves lorsque l'on applique deux fois ou plus un énoncé de la forme “pour tout X, il existe Y tel que R(X,Y)” et que l'on oublie que dans un tel cas, a priori, “Y dépend de X”. Nous analysons cette erreur d'un point de vue logique et d'un point de vue mathématique, puis nous l'étudions à travers
deux enquêtes, l'une historique et l'autre didactique. Nous montrons que les professeurs de mathématiques soulignent l'importance
de la règle de dépendance pour éviter ce type d'erreur, tandis que la déduction naturelle dans le calcul des prédicats fournit
un cadre de référence logique pour analyser et contr?ler l'usage des quantificateurs. Nous montrons que la pertinence de la
règle de dépendance dépend fortement du contexte: pratiquement sans intérêt en géométrie, elle est tout à fait fondamentale
en analyse et en algèbre linéaire. De ce fait, les connaissances mathématiques sont la clé d'un raisonnement correct, si bien
qu'il y a une grande distance entre le débutant et l'expert concernant le contr?le de la validité, que quelques règles syntaxiques
ou quelques conseils informels ne permettent vraisemblablement pas de réduire. |
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Keywords: | AE and EA statements calculus dependence rule didactic inquiry historical inquiry mathematical practice natural deduction predicate calculus semantics syntax |
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