也谈黎曼积分的定义

文〔1〕阐述了定义在闭区间[a,b]上的函数黎曼积分三种定义的等价性,本文的目的是把上述三个定义的等价性推广到积分区域为平面上的有界可求面积的闭区域上去。此时把积分区域分划成一些小区域以后的边界不是只有两个端点,而且一条封闭的曲线,故不存在“左(右)积分”的提法。那么是否可以在这些小区域上取某些点作为类似于定积分中的ξ_i呢?回答是不一定的。我们可以考虑二元函数 1(当x,y均为有理数时) f(x,y)= 0(当x,y一个为有理数,另一个为无理数时) -1(当x,y均为无理数时)(x,y)∈D,D是有界可求面积的闭区域,由二重积分的定义知f(x,y)在D上不可积。若把D任意分划成n个区域D_1、D_2、…、D_n。(ξ_i,η_i)为小区域D_i的边界