双曲函数在积分法求解微分方程中的应用

在求解微分方程过程中,某些积分运算利用双曲代换比较容易算出结果,除此以外,有些微分方程的解,特别是线性微分方程的解可以利用双曲函数通过积分比较方便地表示出来,本文介绍双曲函数在求解二阶常系数线性微分方程中的一些应用。方程Ⅰ.y-a~2y=f（X）（a≠0）（1） 这是二阶常系数非齐次方程,先求出对应的齐次方程 y-a~2y=0（1）’的通解:由特征方程r~2-a~2=0得特征根r_1=a,r_2=-a ∴y_1=e~(ax),y_2=e~(-ax)是（1）’的两个特解我们取y_1=e~(ax）+e_(-ax)/2=chax y_2=y_1=e~(ax)-e(-ax)/2=shax 作为（1）'的两个特解,且易证它们是线性无关的 ∴Y=c_1chax+c_2shax 是方程（1）’的通解 为求方程(1）的通解,运用常数变易法 设 y=c_1(x)chax+c_2(x)shax （2）