二项式定理的一个应用

1 问题的提出 近年来的高中数学复习资料中,频频出现关于一个无理数的小数部分的问题。这类问题一般可以用二项式定理加以解决,可以归类为二项式定理的应用题。例如: 间题1 与((1/2)7 1)~9有相同小数部分的是 (A)(2 (1/2)7)~9 (B)(2-(1/2)7)~9 (C)((1/2)7-1)~9 (D)(1-(1/2)7)~9 解 ((1/2)7 1)~9=C_9~0((1/2)7)~9 C_9~1((1/2)7)~8 C_9~2((1/2)7)~7 C_9~3((1/2)7)~6 … C_9~8((1/2)7) C_9~9,((1/2)7-1)~9=C_9~0((1/2)7)~9-C_9~1((1/2)7)~8 C_9~2((1/2)7)~7-C_9~3((1/2)7)~6 … C_9~8((1/2)7-C_9~9,两式相减,得((1/2)7 1)~9-((1/2)7-1)~9=2(C_9~17~4 C_9~37~3 … C_9~9)为一整数,所以((1/2)7 1)~9与((1/2)7-1)~9有相同的小数部分,选(C)。