巧构等腰三角形妙证两角互余题 |
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引用本文: | 杨志明.巧构等腰三角形妙证两角互余题[J].中学数学月刊,2001(5):43-43. |
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作者姓名: | 杨志明 |
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作者单位: | 湖北省黄石二中,435000 |
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摘 要: | 题 若 b>a>0 , bsin2 α=asin2 β,bcos2 α acos2 β=b,α,β∈ (0 ,π2 ) .求证 :α 2 β=π2 .此题常规的证明方法是利用已知条件先证明 cos(α 2 β) =0 (或 sin(α 2 β) =1 ) ,再利用余弦函数值等于 0 (或正弦函数值等于1 )的角 α 2 β在 (0 ,3π2 )内只有 π2 来证 .事实上 ,若联想所给条件的几何意义 ,便可构造等腰三角形 ,巧妙地加以证明 .证明 ∵ bcos 2α acos 2β=b,∴acos2 β=b(1 - cos2 α) >0 .由 β∈ (0 ,π2 ) ,知 2 β∈ (0 ,π2 ) .由 bcos 2α=b- acos 2β>a(1 - cos 2β)图 1>0及 α∈ (0 ,π2 )知 2 α∈…
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关 键 词: | 等腰三角形 两角互余问题 证明方法 高中 数学 三角函数 构造法 |
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