反证法在代数中的应用举例

反证法是一种间接的证题方法。当用直接证法比较困难时,应用反证法往往会收到很好的效果。这种证题方法不仅在几何证明中经常用到,在代数证明中也时有应用。例1 已知a与b均为正有理数,而a~(1/2)和b~(1/2)都是无理数,证明a~(1/2)+b~(1/2)也是无理数。证明:假设a~(1/2)+b~(1/2)为有理数,则 (a~(1/2)+b~(1/2))(a~(1/2)-b~(1/2))=a-b, ∵a~(1/2)+b~(1/2)≠0,(a,b均为正有理数) ∴a~(1/2)-b~(1/2)=(a-b)/(a~(1/2)+b~(1/2)), 因为有理数对四则运算是封闭的,所以,根据已知条件和所作的假设,由上式可知a~(1/2)-b~(1/2)也是有理数,这样