圆的第二定义

圆锥曲线不仅有第一定义,还有第二定义,可以统一写成:平面内动点到定点和定直线距离之比为定值点的集合.圆的定义:平面内动点到定点     

圆锥曲线中与斜率相关的定点、定值问题探讨

圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的热点.笔者最近遇到一些与斜率相关的定点、定值问题,并对一般情形进行研究,可以得到一般性结论,与各位共赏.定理1:已知点A(x0,y0)是抛物线y2=2px上的定点,直线l(不过A点)与抛物线交于M、N两点.(1)若kAM+kAN=c(常数),则直线l斜率为定值;(2)若kAM·kAN=c(常数),直线l恒过定点.证明:(1)直线l斜率显然不为0,故设为x=ty+m,M(x,y),N(x,y).     

圆锥曲线中两直线斜率关系定值下的定点的统一性质

本文证明两类性质,从圆锥曲线中一定点P引两条直线与该圆锥曲线分别交于点A、B,一是若直线PA和P B的斜率之和为定值t (t≠0)时,直线AB过定点G,当t变化时,定点G的轨迹是一条与圆锥曲线相切的直线,且切点是点P关于圆锥曲线长轴的对称点.二是若直线PA和P B的斜率之积为定值t (t≠0)时,直线AB过定点G,当t变化时,椭圆和双曲线背景下的定点G的轨迹是一条过原点的直线,而抛物线背景下的定点G的轨迹是一条平行于对称轴的直线.     

例析圆锥曲线定值、定点问题

作为高考中重要考点,圆锥曲线有许多丰富多彩而且生动有趣的性质,其中定点、定值问题则是诸多性质中的一条主线,下面介绍圆锥曲线定值定点问题中的几种常见题型,供同学们参考。一、与切点弦有关的定点问题例1已知点H(0,-3),点P在x轴上,点Q在y轴正半轴上,点M在直线PQ上,且满足HP·PM=0,     

圆锥曲线中又一定点问题的推广——两道模拟试题结论的进一步拓展与证明

圆锥曲线中的定点问题是高考题及模拟试题中的热点问题.本文在两道模拟试题的基础上推广与证明了一类新的定点问题,即过不在圆锥曲线上任一点A引两条直线与圆锥曲线交于四点,若其中两点连线的斜率为定值时,另外两点的连线过定点.     

对圆锥曲线的一类定值问题的再思考

文[1]研究了圆锥曲线的一类定值问题,得到了几个重要的结论,读后深受启发.笔者曾想,能否把圆锥曲线上的一个定点变为两个定点,即如果圆锥曲线E上有两个定点P,Q过P,Q作倾斜角互补的两条直线PA,QB(PA,QB的斜率存在),分别与圆锥曲线E交于异于P,Q的点A和B,那么直线AB的斜率是否为定     

再议“齐次化”方法解决定点定值问题

<正>定值定点问题是解析几何中的典型问题,不仅是各类模考题的热点,也是高考题的高频考点,是学生既熟悉又头疼的问题,熟悉在于平时经常会遇见,头疼在于有思路没答案、会而不对.在文[1]中有过介绍,对圆锥曲线上一定点M(x₀,y₀)和两动点A,B(异于点M),已知动直线l过定点,求k_MA+k_MB或k_MA·k_MB为定值,已知k_MA+k_MB或k_MA·k_MB为定值求动直线l过定点.     

圆锥曲线中一类由直线过定点引出的斜率定值

定值定点问题是直线与圆锥曲线位置关系中的常见问题,也是高考考查的重点问题.本文研究了圆锥曲线中一类由直线过定点引出的斜率定值问题,得出了几个重要的结论.一、两个引理引理1设O为坐标原点,椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),A,B是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆C上的任一点.     

极坐标的妙用2例

先对圆锥曲线的统一极坐标方程简要描述:圆锥曲线的统一定义:平面上与一定点F和一定直线l的距离之比为定值e的点的轨迹.设定点F到定直线l的距离|KF|为p(p>0),定值e为离心率,定点F为极点,过极点并     

圆锥曲线对称轴上的一类特殊点

研究发现,圆锥曲线对称轴上存在着这样的特殊定点,经过定点的直线与圆锥曲线相交,交点到定点距离倒数的平方和为定值．     

圆锥曲线"准线圆"的一个有趣定点性质

以圆锥曲线准线上的两点为直径端点的圆称之为准线圆,本文给出准线圆的一个有趣定点性质,介绍如下.定理设A1,A为横向型圆锥曲线对称轴上的两顶点,P是曲线上不同于A1,A的一个动点,直线PA1,PA与同一条准线分别交于M1,M两点,则以线段M1M为直径的圆必经过曲线与该准线相应的焦点及曲线外的一个定点.证明以圆锥曲线对称轴所在直线为x轴,F为坐标原点建立直角坐标系.设焦点F到相应准线l的距离为p,则F(0,0),准线l的方程为x=-p.设R(x,y)是圆锥曲线上的一点,它到准线的距离为d,则由题设及圆锥曲线统一定义得|PF|d=e|PF|2=d2e2x2 y2=e2(x p)2.…     

圆锥曲线内接三角形定值定点问题的充要条件

文章在文献[1]研究基础上,通过对椭圆中的内接三角形的三边斜率关系与直线过定点问题进行研究,发现有关斜率定值问题与直线定点问题之间的内在等价性,从而得到有关椭圆内接三角形定值定点问题的充要条件,并将其拓宽于双曲线与抛物线中,得到相应的结论,揭示圆锥曲线一类定值定点问题的内在统一性.     

利用极点极线探究从“圆”开始的定点问题

<正>在圆锥曲线问题中常常考察定点定值问题,很多定点定值问题隐藏在相关几何关系中．圆具有完美的对称性以及丰富的几何性质,我们可以考察圆的相关问题,再猜想其在一般圆锥曲线中的相关结论．本文以一道圆中的定点问题为起点,利用极点极线理论发掘一般圆锥曲线中的定点问题．一、试题的分析与求解题目过直线x+y=4上一动点M,向圆O:x²+y²=4引两条切线,A,B为切点,求圆C:(x+3)²+(y-3)²=1上的动点P到直线AB距离的最大值．(华中师大一附中2021-2022学年高二期考题)．     

到定点与定直线的距离和为定值的点的轨迹

读了《到定点与定直线的距离差为定值的点的轨迹》(《中学数学月刊》1999年第9期)一后颇受启发，由此而联想到，平面内动点到定点与定直线的距离和为定值m的点的轨迹是什么曲线?     

厘清背景 明晰本源 培养思维品质—–以圆锥曲线中一类动圆过双定点问题为例

本文通过探索并厘清圆锥曲线中一类动圆过双定点问题的本源背景,从而明晰产生定点定值问题的本质缘由,并以点带面将相关结论推广到圆锥曲线体系,进而尝试提升学生在解题,研题等方面的关键能力及核心素养,促进学科思维品质的形成与发展.     

有关抛物线的定值问题

一、抛物线定值问题的特征圆锥曲线的定值问题具有如下几个特征:角度是定值;长度是定值;曲线或直线过定点;坐标之和或坐标之积是定值;曲线的面积是定值;两个动点关于某一个定点对称. 二、抛物线定值问题的处理方法     

浅谈直线和圆方程中的定点定值问题

高中数学直线方程和圆方程中有一类涉及定点和定值的问题。这类问题中一般都有变量或动点,但最终的数值或点却是一定的。解决这类问题,一般都用方程思想探得定值或定点,利用等式恒等的性质,可求出定点、定值。     

到两定点的距离之比为定值的点的轨迹

1．问题提出 我们知道，到定点和定直线的距离之比为定值的点的轨迹为圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线），并具有丰富的几何性质和物理光学性质．那么，到两定点F1、F2的距离之比为定值λ（λ〉0）的点的轨迹是什么？又具有什么性质呢？     

圆锥曲线中一类定点定值问题的探索与推广

文章通过探索圆锥曲线中一类定点与定值问题的知识背景,明晰存在定点定值的本质条件,并进一步类比推广到圆锥曲线体系,从知识整体上梳理相关优美结论.     

例谈圆锥曲线中面积问题的解决策略

<正>直线与圆锥曲线的综合问题,主要是以直线与圆锥曲线的位置关系为载体,考查直线过定点及动点在定直线上的定值、最值问题,求轨迹问题,以及探索性问题等。面积是此类题目常常涉及的一个考查点,也是高考的热点之一。圆锥曲线中涉及的面积问题主要有求三角形面积的最值及范围、多个图形面积的关系转化、面积的拆分等。