关于一个代数定理的证明

由代数基本定理知:“n次复系数方程一定有n个根”.与之对应的一个定理:“如果一个n次有理整函数有多于n个的值使它为零,那么各项系数必定都是零”.它的证明如下,设f(x)表示这个函数,且为f(x)=p0xn+p1xn-1+p2xn-2+…+pn,并设x为a1,a2,…,an时,f(x)为零,则f(x)=p0(x-a1)(x-a2)…(x-an),令c是使f(x)为零的而不同于ai(i=1,2,…,n)的值,由于f(c)=0,而有p0(c-a1)(c-a2)…(c-an)=0.但是,由假设c不等于ai(i=1,2,…,n),所以,c-ai≠0(i=1,2,…,n).因而,p0=0.于是原函数变为g(x)=p1xn-1+p2xn-2+…+pn.根据归纳假设,用同样的方法可以求得g(x)=p1(x-a1)(x…     

一类函数最值问题的推广

本刊文[1]曾讨论了这样一类函数f(x)=且_1(x-a)(1/2) J_2(b-x)(1/2)(田_1,又_2>0,a0,a相似文献   

江苏卷第20题别解

第20题设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;(2)求f(x)的最小值;(3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需要给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集.     

从重要极限到泰勒公式

极限lim x→0sinx/x=1说明当x→0时,sinx≈x,这其实是函数f(x)=sinx在x0=0处的一次近似式,一般地,如果函数在x0处可导,则其一次近似式为f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0),误差为x-x0的高阶无穷小.为了进一步减小误差,提高精确度,扩大使用范围,就需要使用泰勒公式:f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f″(x0)/2!(xx0)2+…+f(n)(x0)/n!(x-x0)n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!(x-x0)n+1,其中ξ在x0和x之间.     

也谈由函数方程确定的周期函数

读本刊1991年第五期《由一类函数方程确定的周期函数》》,深受启发,特再给出几种由函数方程所确定的周期函数,权作该文的补充。定理1 若函数f(x)(x∈R)对任x满足方程 f(x+α)+f(x+β)=k (1) (α、β、k均为实常数,α≠β),则f(x)是以2|α-β|为一个周期的函数。证明由(1)可知,对(?)x∈R有 f(x+a)=k-f(x+β) 将上式中x换成x-a,则有 f(x)=k-f(x+(β-α)) 反复使用上式,则有 f(x)=k-[k-f(x+2(β-α))] =f(x+2(β-α)) 同理可证 f(x)=f(x-2(β-α)) 则f(x)是以2|α-β|为一个周期的函数。定理2 若函数f(x)(x∈R)对任x满足方程 f(x+a)+f(x+β)=2f(x+(α+β)/2)cosmπ/n(2) (其中α≠β,n为非1自然数,m为非零整数,且n、m     

再谈一道竞赛题的解法与推广

贵刊2000年第8期刊登了一篇文章《从一道竞赛题谈起》,原文对1999年12月第十四届江苏省初中数学竞赛的一道试题列举了五种解法,并进行初步的推广.笔者认为该题还有一种新的求解途径,并可以进行更一般性的推广.题目　已知a,b,c,d是四个不同的有理数,且(a c)(a d)=1,(b c)(b d)=1,那么(a c)(b c)的值是.解　作函数f(x)=(x c)(x d)-(x-a)(x-b)-1,1其次数低于2.由f(a)=f(b)=0且a≠b可知　　　　f(x)≡0.2从而　　f(-c)=0.即　　　(a c)(b c)=-1.评注1　将构造的函数1展开,有f(x)=(a b c d)x (cd-ab-1),根据恒等式2有a b c d=0,cd-ab=1.　　　　…     

互反函数图象有交点的一组充要条件

首先,让我们看一道流行习题:“函数f(x)=2~(1/(x-a))(x≥a)的图象与其反函数的图象有公共点,则实数a的取值范围是____”该题给出的解答过程为:“因为f(x)=2~(1/(x-a))(x≥a)的图象是‘半边’抛物线:若f(x)与f~(-1)(x)的图象有公共点,则y=f(x)与y=x有公共点,即     

巧用转化与化归思想避免分类讨论

<正>在广东省惠州市第一中学的一次期末考试中有一道这样的试题:例设函数f(x)=x²-|x-a|,x∈R,a∈R。(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;(2)已知a≥0,若对任意x∈R都有f(x)≥-1恒成立,求实数a的取值范围。命题人给出的答案是这样的:解法1:(1)若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),f(x)=x2-|x-a|,x∈R,a∈R。(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;(2)已知a≥0,若对任意x∈R都有f(x)≥-1恒成立,求实数a的取值范围。命题人给出的答案是这样的:解法1:(1)若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),f(x)=x²-|x-a|,f(-x)=(-x)2-|x-a|,f(-x)=(-x)²-|-x-a|=x2-|-x-a|=x²-|x+     

一道不等式题的微分证法

在不少的数学刊物中刊登了对求证:n~(n 1)>(n 1)~n(3≤n∈N)这道不等式题的证明,而多数采用的是数学归纳法或二项式定理给予证明的。其实用微分中的导数的性质来证明此题也较为简单。思考:要证明n~(n 1)>(n 1)~n成立,变形为n~(1/n)>(n 1)~(1/(n 1)),由此可以看出只要证明函数f(x)=x~(1/x)(x≥3)为减函数,此题就迎刃而解了。证明:设 f(x)=x~(1/x)(x≥3) 则 f′(x)=(x~(1/x))′=(e~(1/xlnx))′ =e~(1/xlnx)·(1-lnx)/x~2。     

常见抽象函数题的解法

一、几种常见的抽象函数1.一次函数型抽象函数:f(x+y)=f(x)+f(y),f(x-y)=f(x)-f(y).对应函数模型:f(x)=kx(k≠0).2.二次函数型抽象函数:f(a+x)=f(a-x).对应函数模型:f(x)=k(x-a)2+m(k≠0).3.指数函数型抽象函数     

一类函数最值问题的不等式求法

题目函数f(x)=λ1x-a+λ2b-x(λ1＞0,λ2＞0,b＞a),求f(x)的最大值和最小值.     

解方程病例剖析

1.忽视方程的同解 例1 解方程:(x-1)(x-2)=x-1. 错解:两边除以(x-1),得 x-2=1,x=3. 评注:忽视了方程的同解,方程两边除以(x-1)就可能导致丢根x=1.为此,把原式整理成(x-1)(x-2-1)=0. ∴x_1=1,x_2=3为所求. 例2 解方程:(x a)/(x-b) (x b)/(x-a)=2. 错解:两边同乘以(x-b)(x-a),有 (x a)(x-a) (x b)(x-b) =2(x-a)(x-b), 即2(x-a)x=(a b)~2. ∴当a b≠0时,x=(a b)/2.     

提高思维能力巧解数学题

高考对能力的考查是指思维能力、运算能力、 空间想象能力以及实践能力和创新意识。其中思 维能力在数学高考试题中是首要考查能力,也是 数学学科要重点培养学生的一项能力。 一、经典例题 已知函数f(x)=2x-a(x≤0)f(x-1)(x>0),求方程f(x)=x有 且只有两个根时实数a的范围 ( ) (A)(-∞,2) (B)(-1,2) (C)(0,+∞) (D)(-∞,1) 二、简单分析 首先确定本题的求解方法:利用函数、方程的思     

高考江苏卷第（22）题别解

第22题已知a∈R,函数f(x)=x2|x-a|.(1)当a=2时,求使f(x)=x成立的x的集合;(2)求f(x)在区间[1,2]上的最小值.     

数列极限综合应用探索

<正>一、数列极限与函数的综合例1已知函数y=f(x)为一次函数,f(1)是f(3)和f(7)的等比中项,且f(5)=5,求lim(n→∞)(f(1)+f(2)+…+f(n))/(n²)。解析:设f(x)=kx+b(k≠0),由题意得f2(1)=f(3)f(7)且f(5)=5,即(k+b)2)。解析:设f(x)=kx+b(k≠0),由题意得f2(1)=f(3)f(7)且f(5)=5,即(k+b)²=(3k+b)(7k+b)且5k+b=5,联立得k=2,b=-5,所以f(n)=2n-5,所以{f(n)}是以     

有奖解题擂台(73)

题已知a是正实数,x＞1 a,求使函数f(x)=2a 2/x-a/x-1-1/x-a为最大值时的x值.     

一类函数周期性的再探讨

文[1]讨论了函数方程f(X λ)=(a f(x))/(1-a(f)x) (1)(λ≠0)的解f(x)的周期性.本文对这一问题作进一步探讨.我们把(1)改写为f(x λ)=(a bf(x))/(b-af(x)) (2)这里a,b不同时为零,当b≠0时,以a代a/b,从(2)就得到(1),再将(2)改写为     

不动点与数列通项(高一、高二、高三)

对于一个确定的函数f(x),方程x=f(x) 的根x=x0称为f(x)的不动点.下面利用不 动点求数列通项. 1.三个定理 定理1 设f(x)=ax b(a≠0且a≠1), {xn}满足递归关系xn=f(xn-1)(n≥2),p为 f(x)的不动点,则xn-p=a(xn-1-p). 定理2 设f(x)=(ax b)/(cx d)(c≠0,ad-bc≠ 0),{xn)满足递归关系xn=f(xn-1)(n≥2),且     

一组高考试题引发的思考

1问题呈现问题1(2020全国Ⅱ卷文21)已知函数f(x)=2 ln x+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;(2)设a>0,讨论函数g(x)=f(x)-f(a)x-a的单调性.问题2(2020天津卷20)已知函数f(x)=x 3+k ln x(k∈R),f′(x)为f(x)的导函数.(1)当k=6时,(i)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(ii)求函数g(x)=f(x)-f′(x)+9 x的单调区间和极值.     

函数奇偶性与周期性的一种关系

函数的奇偶性与周期性有如下一种关系:定理1设函数y=f(x)(x∈R)是偶函数,且f(a-x)=f(a x)(a≠0),则函数y=f(x)必是周期函数,且2a是它的一个周期.证明:由f(x)是偶函数知,对任意x∈R,有f(-x)=f(x).又因为