数理解法,符有其妙

题设 n∈N,x0=0,xi〉0,i=1,2,…,n,且n∑i=1xi=1,求证：     

应用不等式n∑i=1x2i≥1/n(n∑i=1xi)2解竞赛题

定理设n≥2,xi∈R(i=1,2,…,n),则有n∑i=1x2i≥1/n(n∑i=1xi)2,且在诸xin全相等时才取等号.     

强基计划数学备考系列讲座(1) ——组合与概率

1 知识技能 2 要点解析 要点1 特型方程计数:满足方程x1+x2+…+xn=m (m,n∈N?)的一个有序整数组(x1,x2,…, xn),称为该方程的一个整数解. (1)当m≥n时,方程的正整数解(x1,x2,…,xn) (xi∈N?,1≤i≤n)的个数为Cn-1m-1; (2)方程的非负整数解(x1,x2,…,...     

[0,1]格上有限@-fuzzy双线性方程的解集

在[0,1]格上讨论了有限@-Fuzzy双线性方程,即A@X=B@X或∧ni=1（aiαxi）=∧ni=1（biαxi）,其中,i∈{1,2,…,n}的有解判别条件、解集和结果集.     

构造函数,利用“切线法”证明不等式

对满足条件n∑ i=1 xi=k(≥k,≤k)的形如n∑ i=1 f(xi)≤M(≥M)(k、M为常数)的条件不等式的证明是中学数学的重点和难点内容之一,通常在竞赛和高考压轴试题中出现.此类试题技巧性较强,学生在短时间内难以解决.下面介绍一种“切线法”(构造切线方程实施放缩)来证明此类条件不等式. 切线法 对于x1,x2,…,xn∈D,其中D为给定区间,n∑i=1 xi=k(≥k,≤k),(k为常数),求证:∑f(xi)≤M(≥M).     

一类固定设计方差函数模型的小波估计

考虑非参数方差模型Yi=σ(xi)εi,i=1,2,…,n,其中xi是固定设计点列,{εi}是严平稳α-混合序列.该文利用小波方法构造了方差函数σ2(x)的估计量,在设定的假设条件下,讨论了其小波估计的有偏性、方差和相合性.     

用不定方程模型解无序问题(高二、高三)

模型1 不定方程x1 x2 … xm=n(其中m,n∈N* 且m≤n)有C(n-1)(m-1)组正整数解. 分析 此题可以理解为将正整数n分解成m个正整数的和,而 相当于在这n-1个" "号中选m-1个" ",故有C(n-1)(m-1)种选法,所以 方程共有C(n-1)(m-1)组正整数解. 模型2 不定方程 x1 x2 … xm=n (其中m,n∈N*且m≤n)有C(n m-1)(m-1)组非负整数解. 证明 令xi=yi-1(i=1,2,…,m),则 yi=xi 1,yi∈N*,所以原方程的非负整数解问题就转化为方程 y1 y2 … ym=n m     

∑(a_i)/(x_i~r)的最小值

《数学通报》2004年第7期问题1504是:已知x,y,z∈(0,+∞),x+y+z=1,求1x2+y12+z82的最小值.我们将它一般化,得到定理设p,r,n∈N,n≥2,ai,xi∈(0,+∞),i=1,2,…,n,∑xip=1(以下总略去求和限),则(∑xarii)min=(∑aαi)1α,α=pp+r.证引入参数λ>0,使如下平均不等式成立:aixir+…+xariip上+λxip+…+λxipr个≥(p+r)p+raipxipr·λrxipr.即(*)xairi≥p+p raip+prλp+rr-rλpxip(当且仅当xi=(aλi)p+1r,1≤i≤n时等号成立).由于∑xip=1,即∑xpi=∑(aλi)p+pr=1λp+pr∑aiα=λ-α∑aαi=1.从而(*)两边对i从1到n求和,有∑xarii≥α-1·λp+rr∑ai…     

限定条件下nⅡi=1（xi＋1/xi）的最小值

文[1]证明了下述结果： 设xi∈R^＋,i=1,2,……，n,且nⅡixi=1,则nⅡi（xi＋1/xi）≥（n＋1/n）^n（1）     

对两个优美不等式的再巧证

《数学通报》2009年第4期刊登的问题1785：“设0≤xi≤1（i=1,2,3,…,”）,n∈N,n≥3,且∑i=1^n xi=1.试求f（x1,x2,…,xn）=∑i=1^n xi/1=xi^2的最大值”的解答繁难复杂,不易发现和掌握．笔者立足基本方法,从简单自然解题的角度探究发现,用均值不等式解之,更能凸现问题本质,展示数学的简洁美．     

一个求最值问题的简解与推广

<数学通报>2009年第4期刊登的问题1785:"设0≤xi≤1(i=1,2,3,...,n),n∈N,n≥3,且n∑i=1xi=1.试求f(x1,x2,...,xn)=n∑i=1xi/(1+x2i)的最大值"的解答繁难复杂,不易发现和掌握.     

一类二阶中立型动力方程振动性分析

主要讨论时标上二阶中立型动力方程（x（t）-sum pi（t）x（t-τ））from i=1 to n△△＋=sum fi（t,x（t-δi））from i=1 to n=0的振动性,其中pi∈Crd（T,R＋）,τ,δi∈（0,∞）,使得对所有t∈T,有t-τ,t-δi∈T,fi∈C（T×R,R）,i=1,2,…,n。利用导数的符号来判断解的性质,通过不等式的放缩,得到结论,并得到所有解振动的充分条件。     

对一道年号趣题的修改

拜读贵刊 2 0 0 0第 1期上刊登的一组新年趣题 ,不禁为各题的巧妙构思和深刻寓意所折服 ,但百密难免一疏 ,其中第 4题就出现了一个小小的疏忽 .第 4题的原题是 :对于互不相等的 xi∈ Z (i=1,2 ,… ,6 5 ) ,满足∑6 5i=1 =10 8,试求 ∑6 5i=1 x2i 的最大值 .其答案是 :取 x1 =x2 =… =x6 4 =1,x6 5 =44时 ,其平方和最大 ,且最大值为 2 0 0 0 .显然 ,这个答案与“互不相等”的假定是相违背的 .事实上 ,在互不相等的前提下 ,条件 ∑6 5i=1 xi=10 8是不可能成立的 ,因为∑6 5i=1 xi≥∑6 5i= 1 i=2 145 .所以 ,如果一定要满足 ∑6 5i =1 xi=10…     

柯西不等式在2014年高考中的应用

柯西不等式： 设αi,bi∈R（i=1,2,…,n）,则 （α1^2＋α2^2＋…＋αn^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2）≥（α1b1＋α2b2＋…＋αnbn）^2,当且仅当αi=kbi,i=1,2,…,m时等号成立．     

一道最值题推广的巧证

题:设x_i∈R,i=1,2,…,n,且∑_(xi)=m,则sum from i=1 to n(i~2/x_i≥n~2(n 1)~2/4m. 这是熊光汉老师将命题:x,y,z>0且     

关于不定方程8∑i=1 1/xi-8∏i=1 1/xi=1

讨论了不定方程8∑i=1 1/xi-8∏i=1 1/xi=1,给出了该方程解序列的递归性和求解的一个充要条件,同时得到了方程的部分正整数解。     

一个代数不等式及其应用

设ai、bi∈R(i=1,2,…,n),则(n∑i=1a2i·n∑i=1b2i≥(n∑i=1aibi)2),等号当且仅当(a1/b1=a2/b2)=…=an/bn时成立,这就是著名的柯西不等式.若在此不等式中作如下代换:令ai=(√xi),bi=(√yi),即得如下定理:     

一类分式不等式的简证

文[1]用均值不等式广泛地解决了一类分式不等式的证明 .本文来介绍这类不等式的一般性证法 ,证明中用到柯西不等式及其推论 .柯西不等式设 ai,bi ∈ R( i =1 ,2 ,… ,n) ,则 ( a21 + a22 +… + a2n) ( b21 + b22 +… + b2n)≥( a1 b1 + a2 b2 +… + anbn) 2推论　设 ai,bi ∈ R+( i =1 ,2 ,… ,n) ,则a21b1+ a22b2+… + a2nbn≥( a1 + a2 +… + an) 2b1 + b2 +… + bn下面结合文 [1 ]中的一例阐述推论的应用 .例 1　设 ∑ni=1xi =1 ,xi ∈ R+,i =1 ,2 ,… ,n,证明 :x11 -x1+ x21 -x2+… + xn1 -xn≥ nn -1左边 =x21x1 -x21+ x22x2 -x22+……     

柯西不等式的一个变式及应用

在柯西不等式：（^n∑i=1 ai^2）·（^n∑i=1 bi^2）≥（^n∑i=1 aibi）^2 （其中ai，bi∈R，i=1，2，…，n）中，取ai^2=xi，bi^2=xiyi^2，即得下面的：[第一段]     

再生核空间wn2[a,b]中高阶线性变系数微分方程数值解

本文讨论W2^n[a,b]空间中高阶线性变系数微分方程{y^(n) an-1(x)y^(n-1) … a1(x)y a0(x)=0 ,x∈[a,b] y(xi)=yi(i=1,2,…，n)当互异节点系{xi}i=1^n‘包含[a,b]和（xi,yi)（i=1,2,…n)已知时，多点边值问题的数值求解。