关于“素数无限性”的证明

素数是自然数中最重要的一类数字,人类对它们的认识和研究已有几千年的历史.在这些研究中,有一个十分古老的问题,那就是“素数的个数”问题. 人们知道,远在古希腊时期,大数学家欧几里得在《几何原本》中曾给出下面一个定理:     

数学家们努力探寻“质数公式”

你知道什么是质数吗?质数又称素数,一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不再有其他的因数,否则称为合数。质数有无限个,最小的质数是2。几千年来,多少数学家费尽了心力,试图找出一个可以判断一个数是否是质数的“公式”,或者是“标准”。有人曾经认为一连串的3后跟一个1会是一个质数。     

“质数公式”之谜

在自然数中,质数的排列杂乱无章,没有规律。要发现一个较大的质数是很不容易的。因此,人们产生了找到一个表示质数的公式的强烈愿望,以便将任意自然数n代宓我后所得到的数P都是质数,这样找质数就方便了。为此,数学家们进行过千辛万苦的努力。     

欧几里得的巧证

欧几里得是古希腊著名数学家,也是数学史上最杰出的数学家之一.欧几里得在几何学科上作出了巨大贡献.现在我们所学的几何内容绝大部分都来源于他著的《几何原本》.另外值得一提的是,欧几里得在代数和算术方面也有着非凡成就.如利用辗转相除法求最大公约数,是他最先提出的.而对质数有无限多个的证明,更能说明欧几里得对数学的超前领悟和聪明才智.我们知道,所有大于1的整数可分成两大类:质数和合数.质数是指只能被1和自身整除的数.正因为质数有这样的特征限制,所以从分布位置上看,自然数列中,越是往后,质数就越稀少.从表面形式上看,质数的个数…     

话说“无穷”

“无穷”这个概念贯穿于整个数学 .因此 ,包括魏尔 (Ｈ .Ｗｅｙｌ)在内的不少学者认为 ,数学是唯一处理“无穷”这个概念的科学 .最早研究“无穷”问题的是古希腊数学家欧几里德 ,他在《几何原本》中提出一个命题 :质数有无穷多个 .并用反证法给出了一个精彩的证明 .假设质数只有ｎ个 ,不妨设它们为 ｐ1 、ｐ2 、ｐ3、ｐ4 、… ,ｐｎ,那么 ,构造一个新数Ｍ =ｐ1 ｐ2 ｐ3ｐ4 …ｐｎ +1,这个新数Ｍ不能被ｐ1 ,ｐ2 ,ｐ3,… ,ｐｎ中任何一个质数整除 ,所以Ｍ不可能为合数 ,而Ｍ也不等于 ｐ1 ,ｐ2 ,ｐ3,… ,ｐｎ 中的任一个 ,这与前面的假设质数…     

有趣的质数

自古以来,数学家们就想弄明白：自然数中到底有多少个质数,质数的分布有什么规律,它有哪些独特的性质。然而,质数就像一个顽皮的小孩儿,总是“东躲西藏”,让人们捉摸不定,猜测不透。     

几何学之父

欧几里得(约公元前330年￣前275年),古希腊杰出的数学家、数学教育家.他一生写过很多数学、物理方面的著作,其中,《几何原本》是他系统阐述几何学最有影响的巨著.这本书可称得上是古希腊科学的最高成就.早在印刷术发明之前,《几何原本》的手抄本就在民间流传,控制了学校的几何教学.印刷术发明后,它又被译成各种文字达数百次,先后出现一千多种版本.19世纪英国数学家德·摩尔根曾对《几何原本》作过这样的评价:“除了《圣经》,没有任何一本书像欧几里得《几何原本》这样,拥有如此众多的读者,被译成如此多种语言.”二千多年来,学校使用的几何学…     

《算术》第二章 整数的性质的学习辅导

一、目的要求 1.掌握整除、倍数和约数的概念,了解整除与除尽之间的联系与区别,掌握和、差、积及有余数除法的整除性定理。 2.理解一个数能被b整除的特征的概念,掌握能被2或5,5或25,8或125,9或3,以及7,11或13整除的数的特征,并能正确熟练地判断一个数能否被以上各数整除。 3.掌握最大公约数、最小公倍数、互质和几个数两两互质等概念,理解最大公约数及最小公倍数的性质定理。 4.掌握质数与合数的概念,能运用“查表法”“试除法”正确地判断一个数是否是质数,理解“关于大于1的任何整数,至少有一个约数是质数”的定理和算术基本定理。 5.理解用分解质因数法及用辗转相除法求最     

《整数》的辅导与练习

一、两组重要概念在“整数的认识”这部分教材中,有两组重要概念:自然数、零和整数;数数、数位和位数。只有正确理解这些概念,才能较深刻地理解整数的意义。 1.自然数、零和整数。自然数是非空有限集合的基数。空集合的基数“零”,不是自然数;无限集合的基数也不是自然数。自然数用来表示事物的“多少”时,就是基数;用来表示事物的“顺序”时,就是序数。每一个自然数都有基数和序数这样两个含义。把全体自然数按从小到大的顺序排成一列,就得到自然数列;在自然数列的前面再排上“零”,就得到扩大自然数列。自然数列与扩大自然数列的性质,都是“两有一无”,即有始、有序、无限。在《算术》里,整数是零与自然数的总称。因为     

数学历史的启示(下)

四、几何与三角人类在很早的时候，就有各种计算面积与体积的公式或经验，也得到了不少几何定理，例如著名的毕达哥拉斯定理等。但在古代，几何的代表作则是欧几里得的《原本》。现在中学里学习的“平面几何”与“立体几何”的基本内容，是２３００年前《原本》已有的内容。从《原本》问世以来，几何领域一直是它的一统天下，这种现象持续了１０００多年。“真正的进展”是由笛卡儿与费马建立起的“解析几何”，其基本思想是在平面上引进“坐标”，使得平面上的点与实数对（ｘｙ）之间建立起一一对应的关系，于是几何问题就可以用代数形式表…     

“质数公式”之谜

在自然数中,由于质数的排列杂乱无章,因此要发现一个较大的质数是相当不容易的。这样,人们便产生了找到一个表示质数的公式的强烈愿望,试图将任意自然数n代人公式后所得到的数P都是质数。     

高斯

<正>约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（1777年4月30日—1855年2月23日），德国著名数学家、物理学家、天文学家、几何学家、大地测量学家。高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉。高斯于1777年4月30日出生于不伦瑞克，1792年，进入布伦瑞克学院，开始对高等数学作研究，独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”、质数分布定理及算术几何平均。     

多元化多维度理解“分数的意义”

正200多年前,瑞士数学家欧拉在《通用算术》一书中说,要想把一根7米的绳子分成三等份是不可能的,因为找不到一个合适的数来表示它。人类历史上最早产生的数是自然数(非负整数)。以后在度量和平均分时,往往不能正好得到整数的结果,这样就产生了分数。分数的写法也经历了几千年的演变与进化过程——3000多年前,古埃及用画图的方式表示;2000多年前,中国用算筹表示分数;后来,印度用     

高斯与《算术研究》

高斯(1777￣1855),德国数学家,物理学家,天文学家。高斯19岁发现了正十七边形的尺规作图法,解决了欧几里德以来2000年悬而未决的问题。高斯22岁给出了代数基本定理的第一个严谨的证明,24岁出版了《算术研究》。《算术研究》是现代数论的基础,是数学史上为数不多的经典著作之一。高斯对数论、微分几何、复变函数、椭圆函数、电磁学、大地测量学、天文学等都作出了重大贡献。电磁学中的高斯单位制、向量分析中的高斯定理、方程理论中的高斯定理等为人们所熟悉,他被誉为“数学家之王”。高斯在历史上的影响可以与阿基米德、牛顿、欧拉并列。高…     

小学数学教学问答

1.为什么不把“1”也归入质数一类? 全体自然数可以分成三类:一类是质数;另一类是合数;“1”既不算质数,也不算合数,单独算一类。质数只能被1和它本身整除,而合数还能被其它数整除,所以把质数和合数分成两类的理由很充足。“1”也能被1和它本身整除,如果把“1”也算作质数,那么把自然数分成质数和合数两类,不是更好吗? 要回答这个问题,让我们先从一个小例子谈起。比如说,2618能够被哪些数整除,也就是说,2618的因数有哪一些。我们知道,可以把合数分解质因数,而且分解质因数的结果只有一种。2618分解质因数的结果是2618=2×7×11×17。 现在我们再来看看,如果“1”也算作质数,那么把一个合数分解成质因数的时候,它的答案就不止一个了。     

《约数和倍数》教学建议

约数和倍数的有关知识是学习被2、3、5整除的数的特征,质数和合数,最大公约数与最小公倍数的求法等的基础。所以,它是“数的整除”这一章的一个重点。教学这一节时,应该掌握一个原则,讲清两个方法,区别三对概念。一个原则是:在算术数的范围内讲整数,在自然数范围内讲整除。两个方法是:求一个数的约数的方法,求一个数的倍数的方法。三对概念是:自然数与整数,整除与除尽,约数与倍数。现就三对概念、两个方法的教学提几点建议。     

漫话质数

质数也叫素数,是指除了1和本身以外不能被其它正整数整除的大于1的整数。质数在自然数中占有极其重要的位置,每个大于1的自然数都可以唯一地表示成质数的乘积.关于质数有许多显而易见的结论,因而在这个领域里充满了问题与猜测。这些问题吸引着人们,其中有些问题已在历史的长河中获得解决,也有不少问题至今仍知之甚少。让我们来回顾一下历史。 研究质数的历史可追溯到公元前古希腊的文明时期.公元前500年左右由数学家毕达哥拉斯领导的毕达哥拉斯学派就曾研究过质数.而公元前300     

莱布尼茨与虚数

在16世纪以前的数学家看来，负数开平方是一个“不可能”的问题。早在公元3世纪，古希腊数学家丢番图在《算术》中就遇到了“不可能”的一元二次方程336x^2＋24=172x。12世纪印度数学家婆什迦罗指出：“正数与负数的平方都是正数，正数的平方根有两个，一个正，一个负。但是负数没有平方根，因为它不是一个平方数。”在欧洲，12世纪西班牙犹太学者巴希亚、13世纪意大利数学家斐波纳契、15世纪意大利数学家帕西沃里和法国数学家丘凯在讨论一元二次方程的根时，都遇到了Δ〈0的情形。斐波纳契在《计算之书》中指出，一元二次方程x^2＋C=bx当（b／2）^2〈c时无解．帕西沃里在其《几何、算术、比和比例概论》中则给出上述方程有（实）根的条件。     

数位和位数有区别

《教育实践与研究》创刊号第40页有一道这样题:一个万位数,每位上的数字是5,此数除以13余数是几?这道题并不是难题,但解答起来却有分歧。有人认为这个数是55555,也有人认为这个数是。这个问题实际上反映了“数位”和“位数”的关系。 一、数位 1、2、3……是自然数,自然数的个数是无限多的,再加上数“0”就构成小学算术中的整数。每一个整数各自都用一个符号来表示,这是不可能的,于是就产生了记数法。现在通用的记数法为十进位记数法。用数字0、1、2、3……9和个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……等记数单位按照一定的顺序排起     

两自然数和或差为质数的判定

自然数N为质数的判定定理的推论,变形、改写两自然数和或差为质数的判定定理及其引理。