浅谈拓扑熵及其计算

在数学里,拓扑熵是指在一个拓扑动力系统中的一个非负实数,可用来测量此系统的复杂度。拓扑熵这个概念最先在1965年由阿德勒、孔翰和麦克安德鲁提出来的,它的定义是由测度熵中导出来的。后来,汀那伯格和洛福斯·鲍恩另外给出了一个不同但与其等价的定义,将其延伸至豪斯多夫维。本文先介绍了拓扑熵的几种定义以及阐述了拓扑熵的性质,最后通过一道例题了解了拓扑熵是怎样计算的。     

让课堂徜徉在深刻与灵动之间——“分数的意义”教学片段赏析

分数是小学数学教材中的一个核心概念,从整数到分数是小学阶段中数概念的一次重要拓展。在接触分数概念后,学生的数学学习步入了一个新的领域。但是分数的概念比较抽象,不易理解,不少学生在分数概念建构过程中总会遇到一些困难,以至于无法深刻领会分数的意义,从而影响后续相关学习的效率。张齐华老师执教的“分数的意义”一课,深刻解读了教材的学习价值,关注了分数概念的深层内涵和本质,灵动建构分数的概念意象,引领学生整体建构了数概念。     

让课堂徜徉在深刻与灵动之间——"分数的意义"教学片段赏析

分数是小学数学教材中的一个核心概念,从整数到分数是小学阶段中数概念的一次重要拓展.在接触分数概念后,学生的数学学习步入了一个新的领域.但是分数的概念比较抽象,不易理解,不少学生在分数概念建构过程中总会遇到一些困难,以至于无法深刻领会分数的意义,从而影响后续相关学习的效率.张齐华老师执教的"分数的意义"一课,深刻解读了教材的学习价值,关注了分数概念的深层内涵和本质,灵动建构分数的概念意象,引领学生整体建构了数概念.     

分数阶积分和微分函数的图像k维数研究

本文分析了分形函数的基本原理,提出了Riemann-Liouville分数阶积分函数的定义和基本性质,并证明了分数阶微积分函数的图像k维数,最后将分数阶积分和微分函数的图像k维数运用于图像水印中,结果表明具有不可感知性和鲁棒性.     

小学生分数概念学习路径的重构

分数概念是小学数学的重要内容。分数起源于分物与测量,扩展于计数,归根于运算。对分数概念的教学要体现与整数、小数和分数认识上的一致性,实现学生认知过程与分数演变过程的一致性。教师可利用“分一分1、分一分2、比一比、数一数、算一算、化一化”等数学活动,对学生的分数概念学习路径进行重构,以实现学生对分数概念的理解水平与学生认知水平的和谐发展。     

分形几何的起源——魏尔斯特拉斯函数

在"分析严格化"的历史背景下,为了彻底搞清连续性和可微性之间的关系,魏尔斯特拉斯在黎曼等数学家工作的基础上,利用无穷级数求和法构造了病态函数——魏尔斯特拉斯函数,这改进了数学的研究方式并推动了实数严密体系的建立。受此启示,皮亚诺、科赫和哈代等数学家相继构造、推广了一些连续但处处不可微的函数和曲线,芒德勃罗则将魏尔斯特拉斯函数推广为用分数维数刻画的"芒德勃罗-魏尔斯特拉斯函数",从而推动了分形几何的创立和发展。     

分数的内涵有多大?——兼谈小学分数的教学

分数,无疑是小学数学中的一个核心概念。我们在2011年第6期同时刊发了华应龙老师的《分数:先分后数——分数的意义教学新路径》和刘加霞老师的《通过分与数(shǔ),分数是个数(shù)?——兼评华应龙老师执教的分数的意义》两篇文章,探讨这一核心概念以及孩子应该学习分数的哪些内涵等问题,引发了广大读者的热议。为什么反复强调核心概念?因为概念是儿童乃至成人建构复杂能力的基石。孩子可以运用认识或理解的主要概念,扩展到探究其他问题上,触类旁通地解决学习和生活中遇到的某些问题。核心概念尤其具有强大的生长性。同时,数学素养与核心概念的理解和掌握密切相关。本期通过对分数概念内涵及思想方法的进一步廓清,希望引起老师们对数学乃至其他学科核心概念的重视,从而引发研究的兴趣与热情。教学,原本就是学科本质的教学,而核心概念则是最重要的载体。     

函数教学研究

函数是中学数学的主线,也是整个高中数学的基础。函数概念的产生,本身就标志着数学思想方法的重大转折——由常量数学到变量数学。而函数的应用,更使得数学的面貌从对象到理论、方法、结构都发生了根本的变化。函数概念是现代数学的中心问题,在整个数学领域占有非常重要的地位．同时它也是高中数学教学的重要内容．是普通高中学生学习的难点、教师教学的重点。本研究的目的在于分析出普通高中各年级学生对函数概念的理解程度．从而进一步探索出普通高中学生对函数概念理解程度的一般规律,期望能对函数概念的教与学提供借鉴。     

基于APOS理论下的小学数学概念教学

概念教学属于小学数学中的重难点内容,新课程改革中所提出的十大核心概念也体现出了概念教学的重要意义.APOS是美国著名教育学家杜宾斯基在研究实践中所提出的针对概念学习的过程理论,它注重把数学概念融入到现实背景中,使学生借助于亲身体验、经历,把理论和现实结合起来,从而让学生经历一个完整的概念学习过程中.因此,APOS理论应用于小学数学概念教学中,可以使学生正确理解与应用数学概念,从而促进教学效率的提升.     

把握度量本质,拓展分数意义——以“分数的意义（2）”的教学为例

分数是“数”概念的一次重要扩展,是小学数学的核心知识。一般而言,分数具有多重意义：部分与整体的意义、度量意义、商的意义、比的意义等。此前,学生通过部分与整体的意义认识分数。文章主要从度量意义再认分数,从而为分数概念和运算的理解提供统一的框架,充分凸显分数学习与整数、小数学习的整体性与一致性。     

数形结合帮助学生有效建构“分数的意义”

小学生身心发展的规律以及数学概念的抽象性决定了数形结合思想在小学数学教学过程中的重要地位。为了帮助学生理解、掌握"分数的意义"这一重要且抽象的数学概念,完成对分数意义这一概念的有效建构,课堂上可以充分运用数形结合的方法,以形助数,以数解形,实现数到形、形到数的转化,把抽象思维与形象思维相结合,有效降低学生理解的难度,起到事半功倍的效果。     

基于APOS理论的职高数学概念课教学设计探析——以《函数的概念》为例

APOS理论是以建构主义为基础的数学学习理论,它的核心是引导学生在社会线索中学习数学知识,分析数学问题情境,从而建构数学思想.本文以《函数的概念》为例,具体探索在课堂教学活动中,教师如何利用生活中的实例启发和引导学生抽象出函数的概念,从而使学生掌握知识和发展思维.     

函数概念的起源与演变

<正>函数是数学中最重要的概念之一,它的产生起源于变量,并与之一起发展起来,经过三百余年的演变,迄今仍在不断地完善之中,追溯函数概念产生的历史,有助于我们深刻地理解函数这一历史概念。     

HPM视角下的函数连续性

函数连续性具有许多良好的特性,它对数学的深入研究具有广泛的应用。从HPM视角将函数连续性概念发生、发展的历史融入教学中,从函数连续性的历史发展过程,鸟瞰连续函数在数学发展过程中的地位、作用,从整体上加以认识和把握,从而形成良好的知识网络。     

在概念的形成上下功夫——“分数的意义”教学赏析

数学是义务教育的基础学科,概念教学又是小学数学教学的核心部分。引导学生参与概念的形成过程则是概念教学的关键。前不久,听了一节分数的意义概念课,深受启发,现简述如下。     

经典逻辑中函数概念的引入

“函数”本来是一个数学概念 ,弗莱格把它引入逻辑学 ,使其在逻辑学从古典到现代的发展过程中 ,起到了关键的作用。弗莱格用函数和自变元概念代替传统逻辑中的主项和谓项概念 ,在此基础上相当自然地建立了量词理论 ,并成功地把算术的符号语言扩展为一种逻辑语言 ,从而建立了现代逻辑     

刍议优化小学数学概念教学的策略

概念是人们对客观事物本质属性的认识,同时,它也是数学教学体系与学生数学认识结构中的最基本元素。因此,掌握和理解数学概念,是学习数学知识的前提。教学中,教师要着眼于引导学生经历概念的产生过程,使学生有意义地学习概念,从而生成鲜活的数学概念。     

二次函数难点释疑

函数是数学中的一个重要概念,它与代数几何有着密不可分的关系,函数把几何中的形与代数中的数联系起来构成了数与形的第二结合(第一次数形结合是数轴),从而,使用代数的方法可以研究几何问题,故函数概念是一个非常重要的概念,同时又是一个较为抽像的概念,不易理解,更难掌握。     

刍议优化小学数学概念教学的策略

概念是人们对客观事物本质属性的认识,同时,它也是数学教学体系与学生数学认识结构中的最基本元素。因此,掌握和理解数学概念,是学习数学知识的前提。教学中,教师要着眼于引导学生经历概念的产生过程,使学生有意义地学习概念,从而生成鲜活     

经典逻辑中函数概念的引入

“函数”本来是一个数学概念，弗莱格把它引入逻辑学，使其在逻辑学从古典到现代的发展过程中，起到了关键的作用。弗莱格用函数和自变元概念代替传统逻辑中的主项和谓项概念，在此基础上相当自然地建立了量词理论，并成功地把算术的符号语言扩展为一种逻辑语言，从而建立了现代逻辑。