巧用法向量妙解立几问题

历年高考中,关于空间距离,空间角问题,是考察的重点和热点。以法向量为工具求空间角,距离,可以避免纷繁复杂的几何推理和运算,从而使解答过程顺畅、简捷。下面以2006年高考立体几何题为例,说明法向量在求解立体几何问题时的妙用。1.用法向量求点到平面的距离如图1,设A是平面α外一点,AB是α的一条斜线,交平面α于点B,而n!是平面α的法向量,那么向量B"#A在n!方向上的正射影长就是点A到平面α的距离h,∴h=｜"B#A｜·｜cos〈B"#A,n!〉｜=｜B"#A·n!｜｜n!｜例1(06年福建卷、理18)如图2,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点CA=CB=C…     

法向量在立体几何中的运用

在高中立体几何中引入了空间向量,大大降低了立体几何解题的难度,法向量的引入,对于解决空间的角与距离提供了很大的帮助.下面简单介绍法向量在立体几何中运用.一、点到平面的距离.(先确定平面的法向量,再求点与平面上一点连结线段在平面的法向量上的射影长.设n是平面α的一个法向量,P0是平面α外一点,P是平面α内一点,则点P0到平面α的距     

巧用法向量 妙解高考题

在新教材中,将空间向量引入到立体几何中,使几何常规问题坐标化、数量化,使复杂的推理转化为代数运算,大大降低了立体几何解题的难度.尤其是法向量的引入,对于解决空间的角与距离提供了很大的帮助.本文结合2005年全国高考数学两道试题,例谈平面法向量及其应用.【例1】(湖北题/文史)如图1所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(Ⅰ)求BF的长;(Ⅱ)求点C到平面AEC1F的距离.分析:此题命题意图主要是考查线面关系和空间距离的求解等基础知识,同时考查空间想像力和推理与运算能力.在解…     

发挥新教材的优势 利用向量研究空间图形

新教材的特点之一是引入向量,并且用坐标表示向量.这便为用“数”的方法,研究立体几何“形”的问题,建立了崭新的平台.1垂直用空间向量的观点处理立体几何的线面关系,把几何问题代数化,降低立体几何的难度.图1例1如图1,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,当CDCC1的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明.解:设CDCC1=x,CD=2,则CC1=2x.因为BD⊥平面ACC1A1,所以BD⊥A1C.所以只须求满足:A1C.C1D=0即可.设AA1=a,AD=b,DC=c,则A1C=a+b+c,C1D=a-c.所以A1C.C1D=(a+b+c)(a-c)=a2…     

法向量--露出你的头角来

高中数学新教材(试验修订本·必修B)第九章为立体几何内容,其中安排了空间向量一节.安排这部分内容,除了向量作为学生今后进一步学习数学和其它学科的基础知识外,更主要的原因是,利用向量代数方法解决立体几何问题有非常强的优势.立体几何中空间距离、角的计算往往要涉及到作、证、求,是教学的重点与难点,也是高考立体几何解答题中每年必考的内容.借助空间直角坐标系,平面法向量在空间距离、角的计算上,优势十分突出.但教材中对平面法向量仅出现一个概念,对涉及应用空间向量解决立体几何的例题(包括复习题) ,大多是利用向量来判别线线垂直,…     

平面法向量在立几计算中的应用

高中数学新教材立体几何部分引入的空间向量是新教材的一个靓点,立体几何中一些传统的(夹角、距离等)计算,借助向量来计算,显得特别简捷明了. 平面的一个法向量是指与平面垂直的一个向量,下面利用平面法向量来求二面角大小,直线和平面所成的角的大小,以及点到平面的距离.     

用向量求解空间距离

全日制普通高级中学教科书 (试验修订本·必修)数学第二册(下 B),引进了空间向量.我们看到,利用向量可以将空间图形的一些基本性质转化为向量运算,于是不少立体几何问题就转化为代数问题.下面几例,谈谈向量在求距离中的应用. 1.两点间的距离 例 1 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ,AB =AC =1,∠ACD =90° ,将它沿对角线 AC 折起,使 AB 与 CD成 60° ,求 B、D 间的距离. 角 解:如图:∵∠ACD=90°∴AC·CD=0. D A D A C B C …     

平面法向量在立体几何中的应用(高二、高三)

1.求线面角、点面距思路1 如图1,设PQ与平面α的法向量n所夹的锐角为θ,则PQ与平面α所成的角为π/2-θ,点P到面α的距离图1 PH=|PH|=|PQ|cosθ. 例1 长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,E、F分别为A1D1、AB的中点,     

不可小觑的法向量

有关法向量的内容在人教版全日制普通高中数学教科书(必修)第二册(下B)第41页中只有寥寥几行,其应用更是只字未提,但用其解决立体几何问题时的简明、方便却不可小觑.同时,法向量也是连接初等数学和高等数学的一座桥梁,所以在高中数学教学中要重视法向量,深入挖掘法向量的应用.※空间距离类问题※1.点到平面的距离)求点到平面的距离可先求出平面的一个法向量,再求出该点与平面上一点连接线段在平面的法向量上的射影长.结论1:(如图1)点P在平面α内的射影为点P',点A为平面α内任意一点,n#为平面α的一个法向量,记d=PP',则d=｜$%AP·#n｜｜#…     

用向量的代数运算解立几问题

用空间向量解决立体几何的平行或共面、垂直、空 间角和空间距离等问题,同学们往往习惯于建立空间直 角坐标系,然后运用向量的坐标运算,实现从已知向求 解转化.其实,选择向量的基底,运用向量代数运算,并 依据有关性质和定理向求解转化.这也是解决立体几何 问题的基本思路、方法. 一 垂直问题 例1 如图1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为 AC与BD的交点,G为CC1的中点.求证:A1O⊥平面 GBD.     

活用法向量,巧解立体几何题

随着人们对向量认识的加深,向量逐渐成为一个解决问题的重要工具.法向量更是由于其特殊的性质而成为解决传统的立体几何问题的一个特殊工具,它使得表面上非常复杂的求角与距离的题目甚至是证明平行与垂直的题目变得简洁明了,而且还可以使整个解题过程转化为程序化的向量运算,简捷方便,能减轻学生空间想象之困难.一、用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行,然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题.例1已知边长为4姨2的正三角形A BC中,E、F分别为BC和AC的中点,PA⊥面ABC,且PA=2,设平面α过PF…     

平面向量在三角中的简单应用

三角知识是高中数学知识的重要组成部分 ,思维灵活 ,变化多端 ;向量知识进入中学数学教材后 ,由于向量把数和形融为一体 ,为三角问题的解决提供了更为广阔的空间 ,同时三角也为平面向量提供了展示的舞台 .下面就三角和平面向量的结合方面 ,例谈平面向量在三角中的简单应用 1　求某些角的值1 已知A∈ ( 0 ,π2 ) ,B∈ ( -π2 ,0 ) ,且满足 :cosA-sinB sin(A B) =32 ,求A和B的值 .解　因为cosA -sinB sin(A B) =32 ,所以sinAcosB cosA( 1 sinB) =32 sinB ;构造两个向量 :p =(sinA ,cosA) ,q= (cosB ,1 sinB) ,则p·q=sinAcosB c…     

用空间向量解立体几何题

通过高中实验教材9B课本,不仅可以学习传统的立体几何的有关知识,而且还可以用空间向量的有关结论去解决立体几何问题.用空间向量可以解决的立体几何问题包括线线平行、线面平行、面面平行等平行与共面问题;点到平面的距离、异面直线的距离、平行平面间的距离等空间距离问题;异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等空间角的问题以及线线垂直、线面垂直、面面垂直等垂直问题.一共线共面问题主要解决三点共线,四点共面,线线平行等问题.这其中应用的主要定理有1.共线向量定理:非零向量b与向量a共线的充要条件是存在唯一确定的实数λ,…     

利用向量解题应注意什么

人教版新教材高二数学,引入了用向量计算解决立体几何问题,即用向量的4种运算:加、减、数乘、点乘(数量积)论证线与面的平行、垂直,计算空间的距离和角.这一引入使立体几何的难度大大降低了. 使用向量的方法是学生学习了三垂线定理等通常方法之后引入的.引入之后立体几何问题就有2套方法解决,通常的方法往往     

坐标法巧解立几的求距离和求角问题

求距离和求角是高考立体几何中的基本题型之一,此题既会以小题出现,也会以大题小问出现.在高考中有关立几中求距离和求角的问题,对于有些题非常棘手,难度大.学生不知从何入手.有了坐标法后,立体几何中有关空间距离计算和求角的问题可以转化为坐标运算,使问题简捷易解.　　利用坐标法解题步骤:1.根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系.2.利用题设条件写出有关点的坐标,进而获得相关向量的坐标.一、空间向量的性质若 e→是直线L上的一个单位向量,线段 AB在L 上的投影是A1B1→,则有|A1B1→|=|AB→·e→|.运用此性质,我们有:(1) …     

平面法向量的应用和求法

向量作为解题工具,在立体几何解题中有着重要的作用.平面法向量的引入对立体几何中求空间角、空间距离,证明垂直、平行等问题的解答变得快速而准确,每年高考中12分的立体几何题解题思路将会变得更加简捷明了.     

点到平面距离问题的转化策略

求点到平面的距离是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题,是近几年高考的一个热点.这类问题是立体几何中最为灵活与典型的一类题型,其中渗透着许多数学思想与方法.常见的求解方法有直接法、转化法等,本文遴选典型一例,通过对其多种解法的探讨,借以说明此类问题探求途径.图1例题如图1所示,已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2,求B到平面EFG的距离.1平行转移法理论依据1直线m∥平面α,则直线m上所有点到平面α的距离相等.分析由于BD∥平面GEF,将B点到GEF的距离转化为BD上另一点(…     

用平面的法向量求空间角与距离(高二、高三)

在历年的高考题中,立体几何部分考查最多的便是空间中的角与距离问题,自高中新教材试用以来,向量已成为了人们解立体几何题的有力工具.在教材第二册(下B)中有这样一句话:"如果α⊥α,那么向量α叫做平面α的法向量".在教材和教师数学用书中有关平面法向量的介绍,仅此一句,易让人忽略.然而,它在解决空间中的角与距离问题中,却十分有用.     

对人教版教材高中《数学》第九章(B)的建议

从2001年9月开始,成都市(包括其郊县)的普通高中都使用了人教社 B 版本的试验教材,该版本教材的一大特点是在第九章引入空间向量求解立体几何问题.本章分为四大节:第一大节,空间的直线与平面,主要学习空间的直线、平面间的平行和垂直关系;第二大节,空间向量,学习空间向量及其在立体几何中的初步应用;第三大节,夹角与距离,要求学生掌握直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念,了解异面直线距离的概念和计算;第四大节,简单多面体与球,只讨论棱柱、棱锥、多面体和正多面体以及球.笔者以为,编者这样安排,从结构上是合理的:介绍了全章的基础知识后,引进向量工具,以棱柱、棱锥、多面体和正多面体以及球为载体,运用向量求解空间问题.但从内容上看,笔者以为该教材有的地方值得探讨,现提出供大家商榷.     

对一道立体几何题的突破

<正>立体几何是高中数学中极为重要的知识点,是高考必考的内容之一.本文以2012年湖南理科数学试题第18题为例,说明如何用传统的几何方法和向量法来解决立体几何题.如图1,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.(1)证明:CD⊥平面PAE;(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.