1983年第一期数学问题

1.试证:在直角坐标系中,一切重心坐标为((661/3)~(1/2),((2×661)/3)~(1/2))的三角形的三顶点到原点的距离的和都大于或等于(1983)~(1/2) (浙江新昌徐晟提) 2.若a>0,且a≠1,证明:(1+a~2+a~4+…+a~(2n))/(a+a~3+a~5+…+a~(2n-1))>(n+1)/(n)。 (铜陵县一中郎永发提) 3.△ABC的三个角满足关系式Sin1/2(A-B)+sin1/2(A-C)+sin1/23A=3/2,求:(1)sin~2B+cos~2C的值;(2)角A的度数。 (黄毓抛提) 4.曲线y=x~3+ax~2+bx+c在x=-1/2处的切线与x轴重合,而在其它各点的切线斜率均     

一道高三质检题的求解及反思

一次课堂教学中,笔者讲解了济南市2015届高三质检的一道考题: 已知函数f(x)=1/3x3+1/2ax2+bx+c在x1处取得极大值,在x2处取得极小值,且满足x1∈(-1,0),x2∈(0,1),则a+2b+4/a+2的取值范围是(). A.(0,2) B.(1,3) C.[0,3] D.[1,3] 此题貌似函数求导,真正深入下去,内容挺丰富,考查的知识面很宽.本文就其求解步骤与同仁分享,并作一点教学反思.     

说点又非点——由一道高考题说起

题目（2012年江苏高考18题）若函数y=f（x）在x=x₀处取得极大值或极小值,则称x₀为函数y=f（x）的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点.（1）求a和     

题库(十八)

1．已知函数f(x)=ax-b/x-2ln x,f(l)=0. (1)若函数f(x)在其定义域为单调函数,求a的取值范围; (2)若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,且an+1= f'(1/an-n+1)-n2+1,已知a1=4,求证:an≥2n+2; (3)在(2)的条件下,试比较1/1+a1+1/1+a2+1/1+a3+…+1/1+an与1/5的大小, 并说明你的理由． 2．设f1(x)=2/1+x,定义fn+1(x)=f1[fn(x)],an=fn(0)-1/fn(0)+2,基中n∈N．     

圆锥曲线的一个优美性质

笔者近日在学习和研究圆锥曲线时,发现圆锥曲线与其切线有关的一个优美的性质,现表述如下,以期与同仁分享. 性质1 已知A,B是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上不同的两点(不同时在坐标轴上,或kOA·kOB≠-b2/a2),O为椭圆C的中心,椭圆C在点A,B处的切线分别与直线OB,OA相交于P,Q两点.则AB∥PQ. 证明:如图1,设A(x1,y1),B(x2,y2).则切线AP,BQ的方程分别为:x1x/a2+y1y/b2=1,x2x/a2+y2y/b2=1.直线OA,OB的方程分别为:y=y1/x1x,y=y2/x2x由方程组｛x2x/a2+y2y/b2=1 y=y1/x1x,解得点Q的坐标为xQ=a2+b2+x1/b2x1x2+a2y1y2,yQ=a2+b2+y1/b2x1x2+a2y1y2.     

导数一直线和曲线相切问题的基本策略

近年来,与导数有关的直线和曲线相切问题一直是高考命题的热点和难点.无论题目千变万化,处理这一问题的关键是理解y=f（χ）在点χ处的导数f’（χ₀）的几何意义是曲线y=f（χ）在点（χ₀,f（χ₀））)处的切线的斜率.求函数y=f（χ）在点（χ₀,f（χ₀））)处的切线的一般步骤是:①求出函数y=f（χ）在点χ₀处的导数f’（χ₀）,即y=f（χ）在点（χ₀,f（χ₀））处的切线的斜率.②由点斜式写出切线方程y-f（χ₀）=f’（χ₀）（χ-χ₀）,但要注意函数的导数不存在处的切线是与χ轴垂直的直线.例1已知函数f（χ）=χ³+bχ²+cχ+d的图象过点P（0,2）,且在点M（-1,f（-1））处的切线方程为6χ-y+7=0,求函数y=f（χ）的解析式.     

一道高考压轴题题源探寻与拓展

1 问题来源 题1 (2013年高考广西卷理科压轴题)已知函数f(x)=In(1+x)-x(1+λx)/1+x.(1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;(2)设数列{an}的通项an=1+1/2+…+1/n,证明a2n-an+41/n＞ In2. 笔者在研究上述高考试题时,感觉似曾相似,发现它是2010年高考湖北卷理科压轴题的拓展与延伸. 2 题源探寻 题2 (2010年高考湖北卷理科压轴题)已知f(x)=ax+b/x+c(a＞0)在(1,f(1))处的切线为y=x-1.(1)用a表示b、c;(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的范围;(3)证明:1+1/2+…+1/n＞ln(n+1)+n/2(n+1).     

怎样读好题

一、选择题1.若函数f(x)在某点x处增量为Δx =0 .2 ,对应的Δy=0 .8,则在点x处的导数为 (　　 )(A) 4　　 (B) 3　　 (C) 4x　　 (D) 2x22 .一个物体运动的方程是s =1-t +t2 ,其中s的单位是米 ,t的单位是秒 ,那么物体在 3秒末的瞬时速度是 (　　 )(A) 7米 /秒　　　 (B) 6米 /秒(C) 5米 /秒 (D) 8米 /秒3 .曲线y =15 x5+3x2 +4x ,在x=-1处的切线的倾斜角为 (　　 )(A) -π4(B) π4(C) 3π4(D) 5π44 .若f(x)为偶函数 ,且f′(x)存在 ,则f′( 0 )等于 (　　 )(A) 0 (B) 1(C) -1(D) -x5 .若f(x)在x=a处可导 ,则limxaf(x) -f(a)x -a =(…     

由一道文科高考压轴题引出三次函数的一个性质

2010年高考湖北卷文科压轴题第21题:设函数f（x）=1/3x³-a/2x²+bx+c,其中a>0.曲线y=f（x）在点P（0,f0）)处的切线方程为y=1.（1）确定b,c的值;（2）设曲线y=f（x）在点（x₁,f（x₁））及（x₂,f（x₂））处的切线都过点（0,2）.证明:当x₁≠x₂时,f’（x₁）≠f’（x₂）;（3）略.本题第（2）问命题组提供的答案是:     

澳洲袋鼠爪花种苗的组培快繁试验

以袋鼠爪花基部侧芽为外植体,进行了组织培养与快速繁殖技术的研究.结果表明:最佳诱导培养基为1/2 MS+BA 1.0 mg.L-1+NAA 0.05 mg.L-1+Ad 1‰+卡拉胶7 g.L-1+蔗糖20 g.L-1;最佳增殖培养基为1/2 MS+0.5 mg.L-1 BA+0.05 mg.L-1 NAA+Ad 1‰+卡拉胶7 g.L-1+蔗糖20 g.L-1;最佳生根培养基为1/2 MS+0.5 mg.L-1NAA+Ad 5‰+卡拉胶7 g.L-1+蔗糖20 g.L-1.炼苗后,移入泥炭和沙比例为2:1的基质中,移栽成活率高达90%.     

用“1”巧证不等式

1.利用"1=1ⁿ"例1设x,y,z∈R⁺,且x+y+z=1,求证:x²+y²+z²+2（3xyz）^1/2≤1.分析注意到原不等式左、右边式子中指数的差异及条件x+y+z=1,故把不等式右边的"1"构造为1=1²=（x+y+z）².证明原不等式可转化为     

基于命题角度谈一道导数题的命制过程

<正>笔者有幸参与了2022年宿州十三校高二下学期试卷的命制,感触颇深,现结合导数压轴题的命制过程与同仁分享.一、试题呈现已知函数f(x)=ae^x+blnx,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=(e-e²)x+e².(1)求a,b;(2)若f(x)≥kx-k+e,求k的值.     

分类例说数列裂项求和的若干模型

模型1分母可因式分解的有理分式型.这种类型是考试中最常出现的类型,也是最容易掌握的类型.例如,数列{an}是以d(d≠0)为公差的等差数列,且an≠0,则易见1/anan+1=1/d(1/a-1/an+1),1/anan+1an+2=1/2dan+1(1/an-1/an+2),2dan+d^2/a^2na^2n+1=1/a^2n-1/a^2n+1.     

他山之石,可以攻玉

阿基米德说过,“给我一个杠杆和支点,我可以撬动地球.”这里说的就是物理学中杠杆原理的威力.然而不同学科之间的知识是可以相通的,把杠杆原理应用于某些数学证明,可以取得简捷明快的效果.以下举例说明杠杆原理在数学证明中的应用.图11证明前n个正整数的平方和公式即12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6证明如图1,先构筑这样一个点阵:在距原点O长度为1处放置1个单位质量的质点;在距原点长度为2处,放置2个单位质量的质点;……在距原点长度为n处,放置n个单位质量的质点.则该点阵相对于原点的重力矩为:M=12+22+32+…+n2,又因为三角形的重心在底边所…     

深刻理解知识 完善认知结构——一道导数题的错解分析及其教学启示

<正>一、题目与错解题目已知函数f(x)=(x²-ax+a)e2-ax+a)e^x-xx-x²,a∈R.若函数f(x)在x=0处取得极小值,求a的取值范围.这是高三数学复习导数的应用时,学生作业中的一道题目.由于经验型思维错误及思维不严谨,学生中出现了以下两种错解.错解1因为f'(x)=(x2,a∈R.若函数f(x)在x=0处取得极小值,求a的取值范围.这是高三数学复习导数的应用时,学生作业中的一道题目.由于经验型思维错误及思维不严谨,学生中出现了以下两种错解.错解1因为f'(x)=(x²-ax+2x)e2-ax+2x)e^x-2x,而f(x)在x=0处取得极小值,于是     

从重要极限到泰勒公式

极限lim x→0sinx/x=1说明当x→0时,sinx≈x,这其实是函数f(x)=sinx在x0=0处的一次近似式,一般地,如果函数在x0处可导,则其一次近似式为f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0),误差为x-x0的高阶无穷小.为了进一步减小误差,提高精确度,扩大使用范围,就需要使用泰勒公式:f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f″(x0)/2!(xx0)2+…+f(n)(x0)/n!(x-x0)n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!(x-x0)n+1,其中ξ在x0和x之间.     

递推数列通项求解

类型1 a_n+1=pa_n+q（p≠1,q≠0）对这种类型一般是用待定系数法构造等比数列.令a_n+1+λ=p（a_n+λ）,与已知递推式比较,得λ=q/（p-1）,从而转化为{a_n+q/（p-1）}是公比为p的等比数列.     

分式求值的技巧

<正>求分式的值是分式化简、计算的重要内容,经常出现在中考试卷中.这里介绍几种常用的解题技巧.一、特殊值法,巧取奏效例1已知abc≠0,且a+b+c=0,则a(1/b+1/c)+b(1/a+1/c)+c(1/a+1/b)的值为_.解依题意,不妨令a=1,b=1,c=-2,则原式=1×(1/1+1/(-2))+1×(1/1+1/(-2))+(-2)×(1/1+1/1)=-3.     

2014年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 设实数a、b、c满足a+b+c=1,abc＞0.证明: ab+ bc+ ca＜a/2abc+1/4. 证法1 因为abc＞0,所以,a、b、c三个数要么为一个正数和两个负数,要么均为正数. 对于前一种情形,不妨设a＞0,b＜0,c＜0. 则 ab+ bc+ ca=ab+c(a+b)=ab+c(1-c) ＜0＜abc/2+1/4. 对于后一种情形,由舒尔不等式有 a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) ≥0 (→)j(a +b +c)3-4(a +b +c)(ab +bc +ca) +9abc ≥0.① 记p =ab +bc +ca,q=abc. 由式①及a+b+c=1,得1-4p +9q≥0. 从而,p≤9q/4+1/4. 因为q=abc≤(a+b/3+c)3=1/27,所以, √q≤√1/3＜2/9. 于是,9q＜2√q. 故p≤9q/4+1/4＜2√q/4+1/4=√q/2+1/4 (→) ab+bc+ca＜√abc+1/4.     

一道高考题的探源、背景与别解

2009年高考数学陕西卷理科第20题如下: 考题1 已知函数f(x)=ln(ax+1)+导1-x/1+x≥0,其中a>0. (1)若f(x)在x=1处取得极植,求a的值;