公比为±1的等比数列

众所周知,公比q≠1的等比数列的有些性质对于公比q=1的等比数列不适用,前n项和公式就是例证.同样,公比q≠-1的等比数列的有些性质对于公比q=-1的等比数列也不适用.因此在解决等比数列问题时,不可忽视q=1及q=-1的等比数列. 先看下面的命题: 若{a_n}是等比数列,S_n是其前n项和,则     

注意公比q的三个盲点

在等比数列{an}中,公比的作用举足轻重.在弄清公比的定义的前提下,更要注意公比的隐含条件,只有这样,才能在解决有关等比数列的问题时,做到万无一失,准确无误.     

等比数列的两个有趣性质

１９９９年全国高中数学联赛（１）第一（１）题是一个选择题,题目如下： 给定公比为ｑ（ｑ≠ｌ）的等比数列｛ａｎ｝,设则数列｛ｂ｝（　） （Ａ）是等差数列; （Ｂ）是公比为ｑ的等比数列; （Ｃ）是公比为ｑ３的等比数列; （Ｄ）既非等差数列也非等比数列。 本题实际上给出了等比数列的一个性质。 性质１ 给定公比为ｑ（ｑ≠１）的等比数列｛ａｎ｝,设　则数列｛ｂｎ｝是公比为ｑ３的等比数列。 证明 根据题设,ａｎ＝ａ１ｑｎ－１,则　因此,数列｛ｂｎ｝是公比为ｑ３的等比数列。 从性质１的证明可以得到 推广１ 给定公比为ｑ（…     

突出公比 体验过程

等比数列是一种特殊而又重要的数列．等比数列主要研究定义、通项公式与前n项和公式等问题，解决这些问题的关键是公比q，公比q贯穿于整个等比数列的始终．因此，我们在学习等比数列时．可以通过探索求解一些问题，一方面在突出公比中体验过程，另一方面又在体验过程中突出公比．     

等比数列的性质及应用

性质 1若 {an}为等比数列,公比为 q,则 {}也为等比数列,公比为 .(其中 q是实常数,下同 ) 性质 2若 {an}为等比数列,公比为 q,则 {kan}也为等比数列,公比为 q.(其中 k≠ 0,是实常数 ) 例 1在等比数列 {an}中,已知 a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5=,,求 a3. 解：设 {an}公比为 q,由性质 1可知 {}是公比为的等比数列,已知的两式又都恰是五项 . 所以得 =,① a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5=.② 由①②可得 a1q2=± , 即 a3=a1q2=± . 性质 3若 {an}成等比数列,且 m＋ n=k＋ l,则 am· an=ak· al.(m,n,k,l∈ N) 性质 4若 {an}成等比数…     

构造对偶递推式求一类数列的通项公式

给定数列{an},我们可得如下结论: 若数列{an 1-kan}(k≠0)是公比为l的等比数列,则数列{an 1-lan}是公比为k的等比数列.     

公比为±1的等比数列

众所周知 ,公比 q≠ 1的等比数列的有些性质对于公比 q=1的等比数列不适合 ,前 n项和公式就是例证。同样 ,公比 q≠ - 1的等比数列的有些性质对于公比 q=- 1的等比数列也不适用 ,因此在解决等比数列问题时 ,不可忽视 q=1及 q=- 1的等比数列。先看下面的命题 :若 {an}是等比数列 ,Sn 是其前 n项和 ,则Sk,S2 k- Sk,S3 k- S2 k,… ,Sn k- S(n- 1) k,…是等比数列。很多书刊都视它为真命题 ,其实这个命题是一个假命题 ,现举反例如下 :若 {an}是公比为 - 1的等比数列 ,且 k为偶数时 ,Sk= S2 k- Sk=S3 k- S2 k=… =Snk- S(n- 1) k=… =0 ,∴…     

一道颇为流行的错题

《高三数学教学与测试》(94年出版),由苏州大学《中学数学》编辑部编写,人民日报出版社出版,P_(99)典型例题1.证明:等比数列{a_n}的依次每 k 项之和,仍成等比数列,并且公比为q~k(q 是原等比数列的公比).     

等比数列的若干性质及应用

等比数列的若干性质及应用通渭县锦屏中学何海峰性质１两个项数相同（或均无限）的等比数列的对应项相乘（除）所得数列仍等比，且公比为原已知数列公比之积（商）。性质２等比数列的各项乘（除）同一不等于零的常数后所得数列仍等比，且公比不变。性质３在公比为ｑ的等比...     

关于数列的模拟题

一、选择题(每小题5分,共50分)1.已知数列｛an｝是公比为q的等比数列,若bn=an 2an 2,n!N*,则数列｛bn｝是A.公比为q的等比数列B.公比为q2的等比数列C.公差为q的等差数列D.公差为q2的等差数列2.已知数列｛an｝,则“对任意的n!N*,点Pn(n,an)都在直线y=3x 2上”是“数列｛an｝为等     

解数列题时应注意的两个问题

一、应注意公比的合理性在解关于等比数列的题目时,如果引入公比时设得巧妙,可以简化运算,开拓解题思路.但是,有时引入公比后,会扩大或缩小原命题变量的取值范围,出现增根或丢解的现象,因此引入公比时,应注意公比的合理性.     

构造对偶递推式解一类数列问题

定理若数列{an 1-kan}(k≠0)是公比为l的等比数列，则{an 1-lan}是公比为k的等比数列．     

等比数列中关于公比的三个“盲点”

等比数列中关于公比q有三个“盲点”:0,±1.这三个“盲点”始终伴随着公比,稍有不慎,就会不知不觉地犯错误. “盲点”1:公比g≠0.这是决定公比的首要条件. 例1 (1)若,求实数n的取值范围; (2)设q=a/1+a是某一个无穷等比数列     

一个简单的结论所引发的思考

原题各项均不为零的等差数列的第2、3、6项成等比数列,则该等比数列的公比为多少?(易求出q=1或3)变式各项均不为零的等差数列的第2、3、4项成等比数列,则该等比数列的公比为多少?     

1999年全国高中数学联合竞赛

一、选择题(满分36分,每小题6分) 1.给定公比为q(q≠1)的等比数列{a_n},设b_1=a_1 a_2 a_3,b_2=a_4 a_5 a_6,…,b_n=a_(3n-2) a_(3n-1) a_(3n),…,则数列{b_n}( ). (A)是等差数列 (B)是公比为q的等比数列 (C)是公比为q~3的等比数列 (D)既非等差数列又非等比数列 2.平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点.那么,满足不等式     

边长成等比数列的三角形

我们知道,一个三角形,当且仅当三边长是公比为1的等比数列时,是等边三角形。是否还存在其它三边长成等比数列的三角形呢?如果有,公比存什么范围内取值?这种三角形有些什么性质呢? 一、“618”区间定理1 三条长度成等比数列的线段能构成一个三角形的要充条件是公比q属于     

古算诗词中的等比数列问题

明朝王子朱载堉(1536-1612)在《律学新说》(1584年)中,发现音乐上的十二平均律是以12√2为公比的等比数列,用等比数列的计算法,解决了十二平均律问题.在我国,他最早提出等比数列的求和公式,并提出已知等比数列的首项、末项和相数而求其他项的计算方法.     

注意对公比q的分类讨论

对于等比数列前n项求和公式,许多同学只记住了Sn=a1(1-qn)/1-q,而忽视公比q的限制条件.事实上,对于等比数列前n项求和公式,有.因此,在解涉及等比数列前n项求和公式的题目时要注意对公比q进行分类讨论.现举例说明,供同学们参考.     

数列中的错解两例

例 1　已知 4个数成等比数列 ,其积为81 ,且中间两项之和为 1 0 ,求它的公比 .错解　设此 4数为 ａｑ3,ａｑ ,ａｑ,ａｑ3,求得ａ4=81 ,而ａ∈Ｒ ,ａ2 =9,从而有ａｑ ·ａｑ =9,ａｑ +ａｑ =1 0 ,.∴ａｑ和 ａｑ 是方程ｘ2 -1 0ｘ +9=0的两根 ,解之得ｘ1 =9,ｘ2 =1 ,∴ａｑ =1 ,ａｑ=9,或ａｑ =9,ａｑ=1 .从而 ,所求公比是 9或 19.剖析　在上面的解法中 ,所设的 4个数 ,组成公比为 ｑ2 的等比数列 ,这就无形之中限定了该数列的公比为正数 ,其实所求的公比也可能是负数 .正解　设公比为 ｑ ,显然 ｑ≠ 0 ,并设这 4个数为 ａｑ ,ａ ,ａｑ ,ａｑ…     

差分等比数列的一个定理及其应用

本文给出一个差分等比数列有关的一个定理,并用来解决几类常见的由递推公式求通项公式的问题.最后对本刊1989年第11期《再述递推数列求通项》一文作点补充(以上简称为文_1). 定理如果由数列{a_n}的项构成的新数列{a_(n 1)-Ka_n}是公比为l的等比数列,则相应的数列{a_(n 1)-la_n}是公比为k的等比数列. 证明:数列{a_(n 1)-K