简单的不定方程

不定方程通常是指整系数的方程(组),其中未知数的个数多于方程的个数,需要求出方程(组)的整数解或正整数解. 古希腊数学家丢番图曾写过一本关于不定方程的书《算术》,所以不定方程又叫丢番图方程. 我们先讨论二元一次不定方程     

巧用偏导数求解不定方程

从古时候开始,在数论中,不定方程就是一个古老而普及的分支。早在3世纪,丢番图就开始研究不定方程,后来人们为了纪念丢番图,常常将不定方程称之为丢番图方程。不定方程是数论中相当重要的组成部分,定义为方程中的未知数的个数多于方程的个数。针对不定方程的特点,本文指出两种求解不定方程的方法,通过分别比较和验证,得出使用偏导数求解的方法更优于使用根判别式求解不定方程,更加准确可靠。     

不定方程

未知数的个数多于方程的个数,但对于解有某种限制(如限于整数解,或有理数解)的方程或方程组,叫做不定方程. 我国古代的《九章算术》中《方程》篇第十三题就是不定方程的问题.南北朝时北魏张丘建撰《张丘建算经》,也研究了不定方程,其中的《百鸡问题》是很有名的.在希腊,丢番图(约公     

最早的不定方程

西方数学史里把最早研究不定方程的功绩归于公元250年左右的数学家丢番图. 有关丢番图的情况现在已很少知道,他可能是一个巴比伦人.他写了一部《算术》,但后来保存下来的只有其中的6本.这是希腊、罗马时代保存下来的最具诱惑性的论著之一. 丢番图在数学上的贡献应予以肯定.但是,历史上最早提到不定方程的并不是丢番图,而是我国的《九章算术》.例如,《九章算术》“方程”章中有一道题,题的意思是     

关于不定方程x^3＋1=3y^2的解

丢番图方程的计算一直是数论研究中的一个热点问题,文章利用初等数论的方法,求得了不定方程的所有正整数解并给出了证明.     

丢番图的年龄问题

丢番图是古希腊的大数学家,他的13卷巨著《算术》在代数符号、数论、代数方程解法等方面均有重要贡献,其不定方程理论对后世产生了巨大影响,以至后人把整系数不定方程称为"丢番图方程"。在希腊梅特罗多尔编的一本习题集里,以诗的形式记载有关于希腊数学家丢番图的年龄问题,     

中国古代的"丢番图方程"问题

丢番图方程是个古老又有趣的数学问题，因古希腊数学家最早研究它而得名。但事实上，我国对它的研究远比西方早，并在丢番图之前就已形成较系统的理论。本文就介绍几则著名的中国古代丢番图方程问题，并把它应用于初中数学教学中，旨在培养学生创造性思维的能力。     

一类丢番图方程的解

众所周知，丢番图方程是数论研究中基本而且重要的课题之一，给定一个丢番图方程，如何断定它有无整数解是一个十分困难的问题。若一个丢番图方程有整数解，如何求出它的所有整数解，是丢番图方程研究中的另一个重要问题。因此在丢番图方程的研究中，     

基于一类指数型丢番图方程的猜想和论证

指数型丢番图方程指的是在指数位置存在未知数的丢番图方程,对于指数型丢番图方程的研究涉及了代数数论、超越数论以及初等数论中几乎所有的重要方法。从1986年开始,许多著名的学者都对指数型丢番图方程进行了深入的研究。本文主要对a x＋b y=c z这类指数型丢番图方程进行研究,得出一个猜想,并进行了简单的论证。     

最早的不定方程

西方数学史里把最早研究不定方程的功绩归于公元250年左右的数学家丢番图．     

丢番图方程[(10k_1+2)~n-1][(10k_2+5)~n-1]=x~2的解

本文利用二次剩余的方法,讨论了丢番图方程在(a,b)=(10+2,10+5)时的解,解决了当满足某些条件的这一类丢番图方程的解的情况。     

例谈应用题中二元一次不定方程的求解问题

在初中数学应用题的教学中,经常会遇到求二元一次不定方程整数解的问题．对这类应用题,学生容易根据已知条件及数量关系列出不定方程（方程中未知数的个数多于方程的个数）,但要依据题目隐含条件,在无限多个解中求出符合题意的解,就有一定的困难,这也是教学过程中的一个难点．下面结合几个例子,讨论二元一次不定方程的正整数解的问题．     

不定方程问题的常见类型及其常用策略

不定方程是指未知数的个数多于方程个数,且未知数受到某些限制的方程或方程组.不定方程是初中数学竞赛中的重要内容之一,也是各级各类数学竞赛试题中的热点内容之一,求解时不但涉及方程(组)的相关知识,还涉及数论的相关知识,灵活性较大,技巧性较强.其中一些常见的问题,其解决策略往往与其呈现方式直接相关,笔者以其在初中数学竞赛中的常见类型进行分类,例析对应的解决策略.     

阶乘丢番图方程n∑k=1 k!=qm＋8a＋5

与阶乘有关的高次丢番图方程,一直是数论中引人关注的课题.利用整除及同余的有关性质得到了阶乘丢番图方程n∑k=1 k!=qm＋8a＋5的所有整数解.     

阶乘丢番图方程n∑k=1 k!=qm＋8a＋5

与阶乘有关的高次丢番图方程,一直是数论中引人关注的课题.利用整除及同余的有关性质得到了阶乘丢番图方程n∑k=1 k!=qm＋8a＋5的所有整数解.     

关于勾股丢番图方程的解

给出了勾股丢番图方程的整数解和有理数解,并推广至二次齐次丢番图方程的求解。     

左加亭不定方程（组）中的整体思想

若一次方程中未知数的个数大于1,或一次方程组中未知数的个数大于方程的个数,则可称为一次不定方程（组）．我们知道,一般情况下不定方程（组）都有无数个解,然而在一些应用题中,若将不定方程（组）用整体思想进行转化,则能较为容易地求出问题的解．对于这一点,同学们绝不可轻视,举例如下．     

中国的一次不定方程解法

关于一次不定方程問題,从一般数学史書中查考出來,知道它最早見于希臘丢番都(約在第四世紀)的著作中。丢氏处理这些方程,一題有一题的特殊解法,而沒有一个共通的法則。直到十八世紀中,欧洲数学大师欧拉(1707—1783)才創立了一次不定方程的一般解法。然而,我們就中國数学史來查考一下,在丢番都以前数百年的“九章算术”書中,有一个“五家共井”的問題;比丢番都可能     

整数划分的计算方法及其在不定方程中的应用

整数划分是数论的重要问题之一.该研究介绍了整数划分一种的计算方法,并应用于一次不定方程.结合MATLAB程序,计算任何一次不定方程的所有非负整数解或者正整数解及其个数.     

多彩的不定方程与不定方程组

方程有很多种类,其中有一类,其方程个数少于未知数个数,这类方程就是不定方程,不定方程的主要特征是有无穷多解,这是它们的共性,对它附加某些条件,就可以求出符合特定条件的特解.不定方程形式多种多样,琳琅满目,简直目不暇接,要研究它必须具备发散思维的思想,引进参数,建立不定方程的参数方程,以参数取值的无穷性来表示不定方程的解的无穷性.于是,不定方程的解的求法就一目了然了,这又是归纳思维的思想.