从欧几里得《几何原本》谈公理化思想

欧几里得是古希腊最负盛名的数学家.《几何原本》是欧几里得集古希腊人的几何成就与个人创造于一体的不朽之作.欧几里得采用公理化思想,即把几何直觉与逻辑推理相结合的论证方法,创造性地建立起了欧几里得几何学,被认为是古典公理化思想的成功典范.二千多年来,《几何原本》是传播几何、数学的经典著作.介绍欧几里得公理化体系的形成过程和《几何原本》的五个公理、五个公设,对比我国初等数学的公理化体系,阐述欧几里得的公理化体系对我们的影响和贡献.     

数学家的思维方式与小数数学教学之十一 非欧几何与正难则反策略

非略策反则难正与何几欧晨光中小学数学中的几何学知识,主要内容来源于古希腊数学家欧几里得的传世名著《几何原本》,（因此又简称“欧氏几何”）。在《几何原本》中,欧几里得系统地整理了前人积累的几何知识,用逻辑演绎的方法,从精心选择的为数很少的公理出发,建立...     

希尔伯特公理体系中各组公理的作用分析

分析了希尔伯特公理体系中各组公理的作用,从而揭示了欧几里得几何学的结构和特点。     

浅谈现行中学几何教材公理体系

欧几里得的《几何原本》作为数学与逻辑结合的典范,包含了中学平面几何、立体几何的主要内容和论证方法,但《几何原本》在逻辑结构上,有不少缺欠和不足,由此引起对“几何基础”的深入探讨,借助“几何基础”课的学习,比较希尔伯特公理法和现行中学几何教材公理系统的异同,并阐述如何看待中学几何教材的公理化系统。一、几何学公理法和希尔伯特公理法所谓几何学公理法就是把教学中推理的原始依据归结为少数几个基本概念和几组公理,以此为依据,把数学中某一学科的知识,通过逻辑规则,整理成为一个演绎体系的方法。公元前3世纪,《几何原本》是用…     

公理·模型·BIB

几何学的演绎基础是公理.不同的公理系统演绎出不同的几何体系.例如,根据希尔伯特的五组(?)十条公理(关联公理八条,顺序公理四条,合同公理五条,连续公理二条,平行公理一条)可以得到一个完整的欧几里得几何体系.改变希尔伯特的平行公理又可得到罗巴切夫斯基几何或黎曼几何.更一般的几何——射影几何,也可以建立在严格的公理基础之上.     

新编初中几何体系的建立方法和逻辑结构

新编初中几何体系的建立方法和逻辑结构张朝燕现行九年义务教育中学几何教材体系的建立，基本上采用欧几里得的实体公理化方法。即选取少数公理作为定义、推理的基础，又适当地、合理地利用一些图形的直观事实，依据逻辑原则和几何学的内在规律建立的；这样建立的体系虽不...     

几何无王者之道

欧几里得（Euclid）：公元前330年生于古希腊，公元前275年去世。他将公元前7世纪以来古希腊几何学积累起来的丰富成果进行收集整理．加以系统化，并且从少数已被经验证明的公理出发，运用逻辑推理和数学运算的方法演绎出许多定理，写成了十三卷的《几何原本》，从而使几何学成为一门独立的、演绎的科学。     

平面几何教学的回顾与前瞻

古希腊的数学，以几何学为中心．欧几里得的《几何原本》，可以说集古希腊几何学之大成，甚至可以说是古希腊整个数学的总结，文艺复兴之后，代数登堂入室，笛卡儿借用代数方法创立了坐标几何，并以微积分的辉煌成就取代几何学成为数学的中心．进入20世纪下半叶，计算机出现了，信息时代的一切都在数字化，人类对几何学的认识发生了改变，一方面，“几何学万岁”的口号，显示了人们对几何学的热爱和重视，另一方面，几何学进一步代数化，学校中欧氏几何教学内容被一再缩减，于是，几何教学成为当代教育改革的一个核心课题。     

漫谈几何学的发展与应用

欧几里得《几何原本》奠定了几何学发展的基础，随着逻辑推理的理论发展，非欧几何在艰难中产生发展起来。代数群论的发展带来变换几何的发展。几何学的发展与应用前景远大。     

怎样用几何基础驾驭中学几何教学

运用公理法建立几何学逻辑结构的基本思想．分析了中学几何教材，论述了欧氏几何公理系统在驾驭中学几何教学中的作用．     

数学探究式学习活动设计(系列)之一 数学与探究

我国基础教育数学课程标准指出:“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论,并进行广泛应用的过程。”为什么数学课程标准把数学看成是一种过程呢?数学往往容易被看成是一种既成的、静止的东西。事实上,数学从来没有停止过它的发展和变化。例如欧几里得几何学,从2000多年以前诞生于古希腊之后,似乎并没有什么根本性的发展和变化。然而,人们在研究欧几里得第五公设的过程中,创造出了罗巴切夫斯基几何学与黎曼几何学等非欧几何学,极大地丰富了几何学的理论;而希尔伯特又从研究几何学公理系统的过程中,完善了数…     

勾股定理所引起的（3）

学习勾股定理如不知道欧几里得的猜想就太遗憾了．欧几里得是公元前3世纪古希腊的著名学者，他的巨著《几何原本》(共13卷)对几何学的卓越贡献是人所共知的，以至“欧几里得”与“几何学”几乎是同义语了．在欧几里得的著作中，逻辑性已达到惊人水平，这一水平直到19世纪末20世纪初才被德国数学家希尔伯特及其学派所超越．     

平行公理与非欧几何

现在初中教材中的几何，源于公元前3世纪古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，简称欧氏几何．欧氏几何中的许多公理，其正确性是显而易见的．例如线段公理：“两点之间所有的连线中，以     

关于几何学之间辨证关系的探讨

1引言几何学按传统的定义来讲是研究图形及其性质的一门科学．由于研究问题的范畴不同，形成了欧氏几何、伤财几何、射影几何三门独立的几何学．从欧氏几何过渡到射影几何，既有公理体系上的本质差别，又有三种几何学之间的内在联系．从辨证的意义上讲，揭示这种几何学之间的内在联系，对认识几何学的统一具有重要意义．2理想元素的引入将欧氏几何过渡到射影几何通常，大众所接触到的几何学是欧氏几何．在欧氏几间个，所研究的基本元素（点和直线）都是有限元素，如果建立西直线点之间的中心投影，则每条直线上都有一点在另一直线上没有对应…     

小议欧几里得《几何原本》的不足

古希腊数学家欧几里得的《几何原本》问世两千多年来,一直被人们当作教村。但欧几里得是否已经把几何学的原始假设,即那些定义,公设,公理按照他所希望的那样,完美无缺地整理清楚了呢?不！“原本”,在许多方面存在着缺点和不足。首先,“原本”中缺乏原始的概念,定义中所用到的一些概念本身,如“界限”、“长度”、“宽度”之类是应该     

中学数学教师应深入理解教材中的公理法

现行中学几何教科书是用公理法建立的,几何学的公理法也称演释法,它是从少数公理出发,来建立几何学的科学体系(逻辑构造)的一种数学方法。因而掌握公理法,是透彻理解中学几何教材和搞好教学的必备条件。     

山东省日照实验高级中学简介

《几何原本》(The Elements)由希腊数学家欧几里得(Euclid，公元前330年～公元前275年)所，是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范．是至今流传最广、影响最大的一部世界数学名．     

几何学革命

几何学是数学科学中最古老、最成熟的一个分支．直到18世纪,还是由欧几里得几何一统天下,即使解析几何出现了,也未改变欧氏几何的实质内容．进入19世纪,一场几何学领域的革命悄然开始了．     

非欧几何简介

一、欧几里得《几何原本》及其第五公设所谓欧氏几何就是欧几里得几何.欧几里得(Eu-clid,公元前约325年～270年)是古希腊亚历山大学派的三大数学家之一.我们知道,古希腊人以其特有的惟理主义氛围形成了独特的数学认识,即任何数学命题都要根据明白无误的基本假设,按照形式逻辑演绎推理出来.这样,古希腊数学就逐步形成了具有初步逻辑结构的论证数学体系,欧几里得的著作《几何原本》就是这个体系形成的标志《.几何原本》全书共分13卷,包括5个公理、5个公设、119个定义、465条命题(定理),构成了历史上第一个数学公理体系.465个命题(定理)都是依据基本定义和5大公理、5大公设用形式逻辑推理得到的.为了说明问题,我们列出这5大公理和5大公设.     

高观点下探寻多边形的内角和与外角和

<正>三角形的内角和是一个重要的几何量,在欧几里得几何学中,三角形的内角和为180度.在证明这一定理的时候,中学教科书[1]采用的方法是这样的：首先过三角形的某一个顶点作与对边平行的辅助线,再利用内错角相等得到三角形的内角和为180度.而内错角相等需要利用欧几里得几何的两条公理：同位角相等和对顶角相等.由此可见,为了证明三角形的内角和为180度,需要两条公理.中学课本证明完三角形的内角和为180度以后,再利用内角和外角互补的关系,