函数y=x~n p/x,y=x p/x~n的最值

本文利用函数y=x~n p/x(n∈N_ ,x>0,p>0),y=x p/x~n(n∈N_ ,x>0,p>o)的单调性求最值. 定理1 关于x的函数y=x~n p/x(n∈N_ ,x>0,p>0)在(0,(p/n)~(1/(n 1))]上是减函数,在[(p/n)~(1/(n 1)), ∞)上为增函数. 证 1°设0相似文献   

三维空间中的余弦定理

在文[1]中,陶杰同志介绍了三维空间中的勾股定理,即 (1)在四面体O—ABC中,若∠AOB=∠AOC=∠BOC=π/2,则 A_1~2+A_2~2+A_3~2=A_4~2,其中,A_1:S_(△AOB),A_2=S_(△AOC),A_3=S_(△BOC),A_4=S_(△ABC).     

函数f(x)=(A_1x~2+B_1x+C_1)~(1/2)±(A_2x~2+B_2x+C_2)~(1/2)极值点的光学特性

一、引言 对于函数:(其中:A_1>0,A_2>0,B_1~2-4A_1C_1<0,B_2~2-4A_2C_2<0)其极值点x_0(实际上也是最值点),在计算上不会有困难,只要先求出f(x)的驻点x_0,然后判断x_0为极值点即可。本文着重用光学     

几类极值问题的统一处理

设△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)(按逆时针方向排列),则x_1y_1-x_2y_1=|x_1 y_1 x_2 y_2|=|0 0 1 x_1 y_1 1 x_2 y_2 1|=2S_(△OAB)=OA·OBsin∠O.应用这个方法可以把几类条件代数极值问题化为几何极值问题来处理. 例1.设ax by=c(a,b,c∈R~ ,x,y∈R~-),求f(x,y)=mx~(1/2) ny~(1/2)(m,n>0)的极值. 解考虑点A((ax)~(1/2),-(by)~(1/2)),B(n/b~(1/2),m/a~(1/2)),∠AOB=θ,则     

用三角法解f(x)~(1/2)±g(x)~(1/2)=k型方程

一、方程f(x)~(1/2)+g(x)~(1/2)=k(k>0)表明,(f(x)~(1/4),g(x)~(1/4)为圆f(x)~(1/2)=k~(1/2)(cost)g(x)~(1/4)=k~(1/2)(sint)与倾角为t之径线的交点坐标,因而可设 f(x)=k~2cos~4t g(x)=k~2sin~4t’通过三角变换直接或间接地解得x。例1.解方程 2x-1~(1/2)+x+3~(1/2)=4 解:设 2x-1=16cos~4t x+3=16sin~4t(1/2相似文献   

关于凸五边形的一个不等式

定理 设A_1A_2…A_5是凸五边形,记A_iA_(i 1)=a_i,A_iA_(i 2)=m_i(i=1,2,…,5约定A_6=A_1,A_7=A_2),则 sum from i=1 to 5m_i~2相似文献   

方程x~2-5~(1/2)x 1=0之根的性质及应用初探

一元二次方程 x~2-5~(1/2)x 1=0的根是(5~(1/2)-1)/(2)与(5~(1/2) 1)/(2),这是众所周知的。但其根有何性质?又有什么用途?这是非常值得研究的。本文就这两个问题作一些初步探讨。为了研究方便起见,不妨设α=(5~(1/2)-1)/(2),β=(5~(1/2) 1)/(2)。     

椭圆的一个性质

椭圆b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2 (O>b>0)位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD里(如图1),矩形ABCD的两条对角线AC,BD与椭圆分别相交于P_1,P_2,p_3,P_4 四点;易求交点坐标为: P_1(-((2~(1/2)))a,-((2~(1/2)b)/2), P_2((2~(1/2)a,-(2~(1/2)b/2)), p_3(2~(1/2))a(2~(1/2)b)), p_4(-2~(1/2)a/2,(2~(1/2)b)b/2)。 则有:     

用解析法求极值

有些极值问题如果用解析法处理,将会简捷易行,下边通过举例说明。 [例1] 已知变量x、y满足等式4y-3x=4,求函数f(x,y)=((x 3)~2 (y-5)~2)~(1/2) ((x-3)~2 (y-6)~2)~(1/2)的最小值。解:如图(一),设二点A(-3,5)、B(3,6),作出4y-3x=4的图象,则本题可化为动点P(x,y)在直线4y-3x=4上移动时,求|PA| |PB|的最小值。求出点A(-3,5)关于直线4y-3x=4的对称点A_1(3,-3),连结A_1B,易知|A_1B|就是|PA|     

浅议函数y=A_1(t)f~2(x) A_2(t)f(x) A_3(t)的最值

分类讨论题是当前试题中的热点,而求函数y=A_1(t)f~2(x) A_2(t)f(x) A_3(t)的最值(函数在I上有定义,A_1(t)≠0,t为参数)又是分类讨论中常见的类型。如1992年及1993年上海市普通高级中学会考试题的压轴题,他们的模式便是本文议论的问题。 1.求该类函数的最值,其属求一元函数最值的范畴。函数 y=A_1(t)f~2(x) A_2(t)f(x) A_3(t)在I上有定义,A_1(t)≠0。若令f(x)=z,由x∈I得到f(x)∈(?),这样,原函数可化为y=A_1(t)z~2 A_2(t)z A_3(t)A_1(t)≠0,z∈(?)。即y关于一元z的二次函数。由于t是参数,因此在求该类函数的最值时,它的思考方法和运     

方程x0x＋y0y=r^2的意义及其应用

由文[1]P82可知,以直角坐标系原点O（0,0）和点M（x0,y0）为直径端点的⊙O’的方程是x（x—x0）＋y（y—y0）=0,化简就是x^2＋y^2-x0x—y0y=0,这个方程与圆心在原点O,半径为r的⊙O的方程x^2＋y^2=r^2相减得x0x＋y0y=r^2,①．     

∑sinA≤3(3~(1/2)/2)的加强

对0≤k≤2 2(2~(1/2)),在△ABC中成立不等式 ∑sinA≤3(3~(1/2))/2 k[∑sinA/2-3/2]。 (＊) 证明 首先,4cos((A B)/4)(1 cos((A-B)/4))≥4cos(π/4)(1 cos(π/4))=2(2~(1/2)) 2≥k。     

解题教学要从学生的思维出发——一道测试题的解题教学实践与思考

正1试题概况在一次高二的检测考试中,遇到了这样一道压轴题:已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(ab0),圆O:x2+y2=b2,点A、F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是圆O上的动点.(1)若P(-1,3(1/2)),PA是圆O的切线,求椭圆C的方程;(2)若PA PF是常数,求椭圆C的离心率;(3)当b=1时,过原点且斜率为k的直线交椭圆C于D、E两点(其中点D在第一象限内),它在轴上的射影为点     

{[Ni_2(L)_2(1,3-dpp)_2(H_2O)]·H_2L}_n的合成与晶体结构

5-叔丁基-1,3-间苯二甲酸、1,3-双吡啶丙烷与醋酸镍以1∶1∶1的摩尔比在纯水溶剂中反应合成了镍的配合物{[Ni2(L)2(1,3-dpp)2(H2O)]·H2L}n(H2L=5-tert-butylisophthalic acid,1,3-dpp=1,3-di(4-pyridyl)propane).通过红外以及X-衍射分析,确认了其化学结构.Mr=1112.02,晶体属单斜晶系,C2/m空间群,晶胞参数:a=35.166(4),b=20.051(2),c=17.115(2),β=95.003(2)°,V=12022(3)3,Z=8,Dc=1.229mg/m3,最终偏差因子R1=0.0720,wR2=0.1901[I>2σ(I)].     

1981年第四期数学问题

1.已知sinα=xsin(β-γ),sinβ=ysin(γ-α),sinγ=zsin(α-β),求证 xy+yz+zx+1=0 (合肥六中柴雍提) 2.在圆内接四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,试证:圆心O到一边的距离等于对边之长的一半。 (浙江师范学院舟山分校俞朝晖提) 3.求以(0,0)、(x,0)、(x,y)为顶点的所有三角形面积之和,其中y=7X~2+3X+1,x∈{x:x=(1/2)~(n-1),n为自然数}。 4.若x∈{x:x=3y,y≤0},试求(-1+|2~(-x+1)-2~(-2x)-2|)~(1/2)的最大值。 (3、4两题,太平县太平中学数学教研组提)     

根式求值的代换策略

遇到与二次根式有关的求值问题,若能根据其结构特征,灵活运用各种代换策略,则能使运算化难为易,迅速获解．一、整体代换例1已知x=(3~(1/2)-2~(1/2))/(3~(1/2)+2~(1/2)),y=(3~(1/2)+2~(1/2))/(3~(1/2)-2~(1/2)),求代数式3x~2-5xy+3y~2的值．解∵x=(3~(1/2)-2~(1/2))/(3~(1/2)+2~(1/2))=(3~(1/2)-2~(1/2))~2=5-26~(1/2)．y=(3~(1/2)+2~(1/2))/(3~(1/2)-2~(1/2))=(3~(1/2)+2~(1/2))~2=5+26~(1/2),∴x+y=10,xy=1．     

1:2~(1/2)矩形在立几中的应用

矩形的边长之比为1:2~(1/2),本文简称1:2~(1/2)矩形。1:2~(1/2)矩形有以下性质。性质如图,N、M 分别是矩形 ABCD 较长边 AB、CD 的中点,AM、CN 分别交 BD 于 E、F。如果较长边AB=2~(1/2)BC,那么,E 和 F 两点是分别过 E、F 的两条线段的垂足,且 E、F 是所在线段的三等分点,今较短边BC=a,AB=2~(1/2)a,则 ME=NF=(1/3)CN=(1/3)AM=(1/6)6~(1/2)a,BF=EF=DE=(1/3)3~(1/2)a。应用以上平几知识,可以提高分析和解决某些立几问题的能力,兹举例并分析如下。例1 正方体 ABCD—A_1B_1C_1D_1中,二面角 A_1—     

i=-1(1/2)?

籠統地把i定义作(-1)~(1/2)的缺点,已經不止一次地被人指出过了。但是在我們現行的、經过修訂的教科書上,仍旧这样寫着: “虛数(-1)~1/(-1)以文字i表示(法文imagjmirθ的意义是‘虚的’,它的头一个字母是i),并把它叫做虛数單位。由此可知:i~2=-1,和(-a~2)~(1/2)=(-a)。所有的虛数,都可用i和某个实数乘積的形式表示出來,例如:(-16)~(1/2)=(16(-1))~(1/2))=(-1)~(1/4)=4i,一般的,(-b~2)~(1/2)=(b(-1))~(1/2)=(-1)~(1/b)=bi。”     

关于一类不等式证明的教学

高中代数(六年制)第二册P 91例8是求证:2~(1/2)+7~(1/2)<3~(1/2)+6~(1/2).课本上的分析是用平方再平方的方法(大概,传统教材和课外参考资料都是这样证明的). 在教学中,我发现有的学生是这样分析的:要证2~(1/2)+7~(1/2)<3~(1/2)+6~(1/2),即证7~(1/2)-6~(1/2)<3~(1/2)-2~(1/2),分子有理化,得(7-6)/(7~(1/2)+6~(1/2))<(3-2)/(3~(1/2)+2~(1/2)),     

高等数学综合练习

1 填空题 1)设f(x+1)=x~2+2x-2,则f(x):__。 解 设x+1=t,x=t-1,得 f(t)=(t-1)~2+2(t-1)-2=t~2-3 故 f(x)=x~2-3 2)函数y=((3-x)/(1/2))/(ln(x+2))的定义域是__。 解 对于1/(ln(x+2)),要求x+2>0且ln(x+2)≠0,即x>-2且x≠-1;对于(3-x)/(1/2),要求3-x≥0,即x≤3。取公共部分,得函数定义域为(-2,-1)∪(-1,3]。