例析RMI原理在高考解题中的应用

正RMI原理是关系(relation)、映射(mapping)、反演(inversion)原理的简称.文献[1]对该原理具体表述如下:给定一个含有目标原象x的关系结构S,如果能找到一个可定映映射φ,将S映入或映满S*,则可从S*通过一定的数学方法把目标映象x*=φ(x)确定出来,进而,通过反演φ-1又可以把x=φ-1(x*)确定出来,这样,原来的问题就得到解决.用RMI方法解决问题的过程可用框图表示如下(图1):     

用RMI原理与仿射变换解决椭圆问题

<正>一、RMI原理简介RMI原理是我国数学家徐利治教授提出的一种处理问题的普遍方法或准则,即关系(Relation)、映射(Mapping)、反演(Inversion)原则．具体表述为:它通过某种映射φ,将一个较为复杂的系统S(原象系统)映射为一个新的简单的系统S*(映射系统),在新系统S*中处理好对应关系并得到问题的解x*,再通过逆映射φ-1反演到原问题的解x．     

关系映射反演原则的应用

1问题的提出所谓关系映射反演原则,是指一种分析处理问题的普遍方法或准则。我们把关系(relationship)映射(mapping)反演(in-version)原则简称为RMI原则。在此先对这一原则概略说明如下:令R表示一组原象的关系结构(或原象系统),其中包含着待确定的原象x。令M表示一种映射(一一对应法则),通过它的作用假定原象结构系统R被映成映像关系结构R*,其中自然包含着未知原象x的映像x*。如果有办法把x*确定下来,则通过反演即逆映射I=M-1也就相应地把x确定下来。这便是RMI工作原则的基本内容,可用图1表示如下。在数学、工程技术或应用科学部门中,都往往利用这一原则去解决问题。通常总是选择最合适的映射M,使得待定原象x(即具体问题中的目标对象)的映像x*较容易地确定下来,从而通过反演也就较容易地把目标对象x寻找出来。由于许多问题里的x往往是不容易确定的,因此上述工作原则也就非常有用。映射和反演可以赋予很广泛的含义,因此RMI原则实际可以理解为一种包罗万象的科学方法论原则。例如,概念是事物对象或事物关系在人脑中的反映。我们不妨把概念的形成过程看成是通过人脑机制活动完成的映射。于是概念便是事物原象(对...     

变换问题 化难为易——数学中的RMI方法

所谓数学中的RMI方法就是关系(Relation)映射(Mapping)反演(Inversion)原理指导下的思想方法,是数学中一种分析和解决问题的重要思想方法.如果一个数学问题S→X,在直接找出已知条件S与结论X之间的逻辑联系有困难时,可通过映射(或变换)?把S变为S*,然后通过数学方法T由S*得到其结     

一类映射个数的探求

如下两道题曾作为数学奥林匹克高中训练题出现:题1设集合A={1,2,3,4,5,6},映射f: A→B满足f(f(x))=x,则映射f的个数为____.题2已知集合S={1,2,3,4,5,6},一一映射f:S→S满足条件:对于任意的x∈S,     

现代数学观点下的函数问题

随着中学教材的改革和更新,中学数学的内容也在不断变化和发展,现代数学的思想和方法的渗透越来越普遍和深入.这就要求中学数学教师拓宽知识面,提高综合素质,不仅要有足够多的现代数学课程知识,而且要有相应的课程知识指导学生用现代数学思想、观点和方法,将高等数学与中学数学结合起来,同时要培养学生数学应用意识和应用能力. 关系(Relation)映射(Mapping)反演(Inversion)方法简称为RMI方法,由于它是数·24· 理科学的一种普遍思想方法,带有一般的原则性,所以有时也称为"RMI原则". 数学中的RMI方法可简述如下: 给定一个含有目标原像x…     

浅议中学数学中的RMI原则

<正>RMI原则即关系(relationship)映射(mapping)反演(inversion)原则,它是由我国数学家徐利治教授提出的一种处理问题的普遍方法或准则.本文主要探讨RMI原则在数学中的应用,故而就数学中的RMI原则陈述如下:     

有奖解题擂台(71)

题设R是全体实数的集合.试解决下列两个问题: (1)试求出所有的函数f:R→R,使得对于任何的x、y∈R,都有f(f(x) f(x*y))=f(x) x*f(y); (2)试求出所有的函数f:R→R,使得对于任何的x、y∈R,都有f(x2 y f(y) y*f(x))=2*y y*f(x) (f(x))2.     

浅谈数学解题中的“转化”策略

数学活动的实质就是思维的转化过程,在解题时,要不断改变解题方向,从不同角度、不同的侧面去探讨问题的解法,寻求最佳的方法.在转化过程中,应遵循如下3个原则:(1)熟悉化原则,即将陌生的问题转化为熟悉的问题;(2)简单化原则,即将复杂的问题转化为简单的问题;(3)直观化原则,即将抽象问题具体化.1 化抽象为具体高度的抽象是数学的一个基本特点.有些数学问题较抽象,不易发现其内在的联系和规律,但如果能结合具体数学情境,联系已学知识,建立模型,便可以启迪解题思路,找到解决问题的突破口.例1 已知 x∈R,a 为常数,且 f(x a)=(1 f(x))/(1-f(x)),问 f(x)是不是周期函数,若是,求出周期,若不是,说明理由.     

例谈新课程背景下RMI原则的教育价值

“关系映射反演原则”(简称RMI原则)是一种重要的数学思想方法,其实质是“矛盾转移法”.在新课程背景下,对RMI原则进行教育价值的重新挖掘,发现在应用RMI原则的过程中可以培养学生联系的眼光、辩证思维能力和创造性思维品质,潜移默化地落实数学学科核心素养的培养,并用例子解析如何实现这些教育价值.     

关系映射反演原则的应用

1 问题的提出 　　所谓关系映射反演原则,是指一种分析处理问题的普遍方法或准则.我们把关系(relationship)映射(mapping)反演(inversion)原则简称为RMI原则.在此先对这一原则概略说明如下:令R表示一组原象的关系结构(或原象系统),其中包含着待确定的原象x.……     

RMI方法及应用举例

数学不仅是研究自然科学的有力工具,而且在研究数学本身问题时创造了很多种方法,关系映射反演方法即RMI方法就是数学中一个极普遍的方法原则.无论在初等数学还是在高等数学中都可以找到它的许多应用实例.本文阐述了关系映射方法即RMI方法的原理,并从高等数学的不同分支列举了一些用此方法解决的例子.     

浅谈组合计数

设X是有限集,用|X|表示X的元素的个数,在不同领域中都会遇到对有限集X的计数问题,不要以为这是轻而易举可以解决的问题,有许多计数问题是相当艰难的,解决它需要知识,更需要智能,解计数问题更多地是依靠机智,依靠对特殊问题的具体分析,在方法上是灵活多样的。计数问题是组合数学的重要组成部分,也是数学竞赛中经常出现的热门试题,本文简要介绍组合计数的一些重要方法。一、映射与计数有两个集合X和Y,如果对每一x∈X有一个y∈Y与之对应,则说定义了一个从X到Y的映射f:X→Y。如果由x_1≠x_2可推出f(x_1)≠(x_2),则称映射f为单射。如果{f(x)|x∈X}=Y,则称映射f为满射。若映射f既是单又是满,就说f是一一映射。     

关于Li—Yorke混沌定义的简化

运用分析的方法 ,简化了线段上的连续自映射的Li_Yorke混沌定义 :设f是线段I到自身的连续自映射 ,若存在I中不可数子集S , x ,y∈S ,使得 :(B1)limn→∞|fn(x)-fn(y) | >0 ;(B2 )limn→∞|fn(x) -fn(y) | =0 ;其中x≠y ,f0 (x) =x ,f1(x) =f(x) ,… ,fn 1(x) =f(fn(x) ) ,n∈N ,则f是Li_Yorke混沌的 .从而使得该定义更加简单明了     

重视对应思想在复合函数解题中的应用

函数本身就是一种对应,它是建立在数集上的特殊对应,即映射。因此对应思想是函数的一个基本数学思想,它是处理函数问题的一个有力工具。复合函数是函数中的一个难点,也是学生的一个易错点,因此在解决复合函数问题时应充分重视对应思想的应用。 一、利用整体对应思想,求解复合函数定义域 例1 若函数f(2x)的定义域为[1,2],求函数f(log2x)的定义域.解:∵1≤x≤2,∴2x∈[2,4],由整体对应知:2x的范围与log2x的范围相同。∴2≤log2x≤4,则4≤x≤16,∴f(log2x)的定义域为[4,16]。     

求解三角问题的常用数学思想

数学思想是研究和解决数学问题和有关实际问题的基本指导思想.求解数学问题时,若能正确地运用数学思想,则可提高解题效率.本文举例介绍在求解三角问题时的常用数学思想.一、函数思想例1已知x3+sinx-2a=0,x∈[-π2,π2],4y3+sinycosy+a=0,y∈[-π4,π4],求sin(x+2y)的值.分析:从已知条件所具有的特征出发,可构造一个新的函数f(x)=x3+sinx,利用该函数的单调性,找出x与2y的关系,从而获得解答.解:令函数f(x)=x3+sinx,由x3+sinx-2a=0,得2a=x3+sinx=f(x).又由4y3+sinycosy+a=0,得2a=-8y3-2sinycosy=(-2y)3+sin(-2y)=f(-2y),∴f(x)=f(-2y),∵x,-2y…     

整体换元在解题中的应用

整体换元是中学数学中的一种重要的思想方法. 其目的是把复杂或生疏的问题转化为简单或熟悉的问题来解决,其方法是在解决某一个数学问题甲时,将其中某一个数学式子f(x)作为新变量y,即通过令y=f(x)将原问题化归为更易于求解的新问题乙,从而使原问题得到解决的方法.下面举例说明整体换元在解题中的应用.     

谈Vandermonde恒等式的另证

本文简单明了地说明了数学方法论中的数学模型方法(MM方法)和关系映射反演原则(RMI原则)在证明Vandermonde恒等式上的应用.     

两个映射命题的应用

在近几年的数学竞赛中,出现了许多关于有限集合上一一映射的问题,虽然这些问题的表述形式不尽相同,但是它们都要用到以下两个命题。 命题1 设有限集A={a_1,a_2,…,a_n},f是A到A上的映射.记f(x)=f(x),f_(r 1)(x)=f[f_r(x)](x∈A,r∈N).则f是一一映射的充要条件是:对任意a_i∈A,存     

RMI原则在高等数学中的应用

关系映射反演原则是数学方法论中的一个重要科学性原则,它在数学发现和数学解题中有着多方面的应用.本文通过几例介绍RMI原则在高等数学中的应用.