对一道放球问题解法的质疑和探究

1 问题的提出 由某省招办组织专家编写的考前数学样卷第(16)题: 设3个相同的球随机地放在编号分别是1、2、3、4的4个盒子中,ξ表示有球盒子的编号的最小值(例如,ξ=2表示1号盒子没有球,2号盒子里有球,3、4号盒子内可能有球也可能无球).     

浅谈隔板法的应用

1　基本应用隔板法是插空法的一种特殊情况 ,能解决一大类组合问题 ,请看以下典型问题 :例 1　 9个相同的小球放到 6个不同盒子里 ,每个盒子至少一个球 ,有多少种不同的放法 ?解析　法 1:先在盒子里各放一个球 ,再把剩下的 3个球放到 6个盒子里 ,分三类 :① 3个球放到一个盒子里 ,有C1 6 种放法 ;② 3个球放到 2个盒子里 ,球数分别为 2 ,1,共A26种放法 ;③ 3个球放到 3个盒子里 ,每个盒子各 1个球 ,共C36 种放法 .根据分类计数原理 ,共有C1 6 A26 C36 =5 6种放法。法 2 :把 6个盒子看作由平行的 7个隔板组成的 .每一个满足要求的放法都…     

例析排列组合中的球与盒子问题

在排列组合问题中有这样一类问题,把一些小球投入到几个盒子中,给出一定的限制条件,求有多少种不同的方法.下面分类例析,希望对提高同学们的解题技能能够有所帮助.一、m个不同的球放入n个不同的盒子此类问题中球必须都放进盒子,因此按球分步.把"一个球放进盒子"作为第一步,共分m步,每一步都有n种不同的放法,所以把m个不同的球放入n个不同的盒子,共有nm种不同的放法.求解此类问题的关键在于分清谁是球,判断的标准为"球"必须都放完.     

“小球投盒”问题全攻略

在排列组合问题中，其中一类问题可以归纳为：将N个球放入m个盒子中（盒子和球都可以选择是否相同，盒子可以选择是否为空），本文对这类问题进行详细探讨．     

解决排列组合问题的九种方法

排列组合是高中数学的重点和难点内容之一,也是求解概率问题的基础。排列组合问题不仅内容抽象、题型多样,而且解法灵活,不易掌握。解答排列组合问题时,要注意分析题型类别,抓住问题的本质,采取恰当的方法来处理问题。下面介绍求解排列组合问题的常用方法,供大家学习时参考。一、为数不多问题枚举法例1设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子,现将这5个球投入5个盒子,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同,问有多少种不同的方法?分析先选出球号和盒子号相同的两个号码,有C₅²     

一道概率题的拓展与证明

问题1设有标号为1,2,3的三个盒子和标号为1,2,3的三个小球,将这三个小球任意地放入这三个盒子,每个盒子放一个小球.若j(j=1,2,3)号球放入j号盒子,则称该球放对     

隔板法与组合计数

1．球入盒问题 例1把20个相同的球全部装入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的球数不小于其编号数,问有多少种不同的装法．     

抽屉原理及其应用

抽屉原理可叙述如下:将n 1个球放入n个盒子中,则至少有一个盒子中装的球数不少于两个。 证明 若每个盒子中最多装一个球,则n个盒子中总共最多只能装n个球,但这n个盒子中共有n 1个球,这是一个矛盾。 抽屉原理还可推广为更一般的形式:设m_1,m_2,…,m_3都是正整数,若将sum from i=1 to n(m_i-(n-1))个球放入n个盒子中,则:第一个盒子中至少放入m_1个球,或第二个盒子中至少放入m_2个球,… ,或第n个盒子中至少放入m_n个球,这n种情形中至少有一种情形必然发生。 证明 若第一个盒子中装的球数少于m_1个,第二个盒子中装的球数少于m_2个,…,第n     

排列组合中球与盒子模型的应用题

在解决排列组合问题时,常常会遇到有关球放入盒子的问题,这类问题的变化较多,学生掌握起来有一定困难,而且还有很多问题可转化为球与盒子的问题.本文就此谈几点模型的归纳及应用方法. 模型一:把m个不同小球随意放入n个不同盒子.这类问题实质上是一个重复排列的问题,可以用分步计数原理解决.第一个球有n种放法,第二个球有n种放法……第m个球有n种放法,故共有nm种不同放法.     

球入盒问题分类例析

一、球相同,盒子相同,且盒子不能空 例1：8个相同的球放入3个相同的盒子,每个盒子中至少有一个,问有多少种不同的放法？     

例说递推法在排列组合中的应用

<正>问题一同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡的不同分配方式有多少种．问题二设有编号为1、2、3、4的4个球和编号为1、2、3、4的4个盒子,现将这4个球放入这4个盒内,要求每个盒子中各放一个球且球的编号与盒子的编号不同,有多少种放法．     

错位数公式的化简

错位排列数把编号为1，2，…，n的n个球装入编号为1，2，…，n的n个盒子中，每个盒子装一个球，但1号盒子里不能装1号球，2号盒子里不能装2号球，…，n号盒子里不能装n号球，这种装球的方法就叫做1，2，…，n的错位排列，这种装球的方法数就叫做1，2，…，n的错位排列数，记作Dn．     

球·盒子模型的应用

在解决排列组合的问题时,常常碰到有关球放入盒子的问题,这类问题的变化较多,学生掌握起来比较困难,且其它一些问题可以转化为球·盒子问题,也即具有模型置换的功能,本文拟就此谈些方法.模型之一:把m个不同小球随意放入n个不同盒子.把m个不同小球随意放入n个不同盒子的问题,实质上是一个重复排列的问题,可以用乘法原理解决.第一个球有n种放法,第二个球有n种放法……第m个球有n种放法,故共有n·n……nm=nm种不同的放法.例1　五个学生报名参加数、理、化、外四门学科竞赛,每人限报一门,则报名方法有多少种?分析　五个学生类比于5个不同的小球,…     

“华杯赛”训练题选(一)

1.2 000) 2.计算:(1+3十5+…+2001)一(2一卜4+6+…十1至100各数,所有不能被9整除的自然数的和是 3.盒子里放有三只乒乓球.一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球放回盒子里;第二次从盒子里拿出2只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里;……第10次从盒子里拿出1。只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里,这时,盒子里共有只乒乓球.4.计算迎匕6丫+入345345火+巡艺Z艺 5.1万’‘””‘将2。。:减去它的喜 乙,再减去余下的冬,再减去余下的 口依此类推,直至最后减去余下的兴只二,最后的结果是 ‘UUI6.计算:1十:粤+:典+: 勺1乙1._l__…     

开放“学习通道”才能开放思维

小学数学“9加几”的加法是“20以内进位加法”的起始课。教学这部分内容，过去是引导学生先将盒子外的2个球分成1和1，拿出1个球放进盒子里，把盒子里的球凑成10个，再与盒子外的1个球相加，得到有11个球的结论。然后让学生通过用小棒代替球来分一分、摆一摆，具体感知“分”和“凑”的过程。最后根据学     

排列组合中球与盒子模型的应用题

在解决排列组合问题时,常常会遇到有关球放入盒子的问题,这类问题的变化较多,学生掌握起来有一定困难,而且还有很多问题可转化为球与盒子的问题.本文就此谈几点模型的归纳及应用方法.     

排列组合中一类“放球入盒”问题的解法

“放球入盒”问题可以分为两类.一n个不同的小球放入m个不同的盒子里例17个不同的小球放入7个不同的盒子里,有几种不同的放法?分析:先将7个小球全排列,然后依次将小球装入7个盒子里,共有A77=7!种.不能同时将球和盒子都作全排列,因为将球全排列后,每个盒子都有可能装到每个小球.例27个不同的小球放入7个不同的盒子里,恰好有一盒子是空盒,则共有几种不同的放法?分析:运用乘法原理中的分步要不重复,不遗漏.对于本题,第一步,选一盒为空,有C17种;第二步,从7个不同小球中选两个成一组,有C27种;第三步,从剩余的6个空盒中选一空盒装已选的2个球,有…     

“可能性”教学设计与评析

〔教学目标〕通过体验、猜测、实验,了解简单随机事件的可能性。〔教学过程〕一、设景、体察,感受结果的“可能性”1.互动比赛(摸球):教师的讲台上有两个盒子,里面各有8个乒乓球,教师在第一个盒子里摸球,请一个同学在第二个盒子里摸球,谁摸到白球为胜。结果教师每次都摸到了白球,而学生有时摸到的是白球,有时摸到的是黄球。(学生不服气)(1)提问:为什么老师总是会摸到白球?(2)搜索学生答案。(生1:因为老师摸球前先摇摇盒子再摸,所以会赢。生2:老师看到了盒子里的白球。生3:我猜想老师的盒子里可能都是白球。)(3)打开盒子,将球取出分别放入两…     

上期答案

李推爱推理：首先应从贴有“黑白”标签的盒子里取出一只球来,因为既然盒子里的球和标签都是不符的,那贴有“黑白”标签的盒子里装的只能是两只白球或两只黑球,如取出的是黑球,那另一只肯定也是黑球。     

解组合问题的一个重要模型

r 个无区别的小球分别放入 n 个不同的盒子中,每个盒子所放球数不加限制,其放法总数为:G_(n r-1)~r.在解一些组合问题时经常用到这一结论,我们可以把这个结论看成一个模型,即“球·盒子模型”,利用这个模型我们可以很方便地解决一些组合问题.首先证明这个结论.考察 n 1个1和个 r